Фермі-газ

Фермі́-газ, або ідеа́льний газ Фермі́ — Дірака — газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при $T=0$ дорівнює $W_0=0$. Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу $W_0$ із $N$ частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із $N$ квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія $W_0$ такого газу при $T=0$ буде відмінною від нуля.

Величину $W_0$ не важко обчислити. Позначивши через ${\mu }_0$ енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при $T=0$. При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче ${\mu }_0$ буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище ${\mu }_0$ будуть вільними. Тому повинно існувати точно $N$ станів з енергією нижче або рівній ${\mu }_0$. Цієї умови достатньо для знаходження ${\mu }_0$. Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам $𝐤$ інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на $h^3$:

$\frac{g}{h^3}\underset{}{\overset{}{\iint }}4\pi p^{2}drdp=V\frac{g}{h^3}\underset{}{\overset{}{\int }}4\pi p^{2}dp$

де $g-$ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число $g=2$, для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від $p=0$ до значення $p_0$, визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при $T=0$ стану з енергією ${\mu }_0=(2m{)}^{-1}{p}_0^2$, та прирівнюючи результат до $N$, отримуємо із врахуванням того, що $\rho =N/V$:

$N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}{p}_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}(2m{\mu }_0{)}^{2/3}$

$p_0=(\frac{3}{4\pi g\rho }{)}^{1/3}h$

${\mu }_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}(\frac{3}{4\pi g\rho }{)}^{2/3}$

або для електронів з $g=2$:

${\mu }_0=\frac{h^2}{8m}(\frac{3\rho }{\pi }{)}^{2/3},g=2$

Величину ${\mu }_0$, найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі

Для ненульових значень параметра $\beta =1/kT$ густину числа електронів $N(ϵ)$ в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

$\frac{3}{2}N/{\mu }_0^{-3/2}\underset{}{\overset{}{\int }}{ϵ}^{1/2}dϵ$

на множник $\frac{1}{1+\exp [\beta (ϵ-\mu )]}$, який дає число електронів на один квантовий стан:

$N(ϵ)=\frac{3}{2}N/{\mu }_0^{-3/2}\frac{1}{1+\exp [\beta (ϵ-\mu )]}$

де величина ${\mu }_0$ є хімічний потенціал при $T=0$, а $\mu$- хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням $ϵ$, то ми можемо визначити $\mu$ як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}N(ϵ)dϵ$ повного числа частинок $N$. Звідси видно, що для $N(ϵ)$ величина $mu$ є функція параметрів $m{u}_0$ та $\beta$.

Енергію можна знайти із співвідношення:

$W=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ϵN(ϵ)dϵ$,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

$I=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(ϵ)g(ϵ)dϵ$,

в якому функція $f(ϵ)$ є деяка проста та неперервна функція від $ϵ$, наприклад ${ϵ}^{1/2}$ або ${ϵ}^{3/2}$, та

$g(ϵ)=\frac{1}{1+\exp [\beta (ϵ-\mu )]}$.

Слід відзначити, що для більшості металів величина ${\mu }_0/k$ має порядок від $5\cdot 10^4$ до $10^5$ К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

$\mu ={\mu }_0[1-\frac{{\pi }^2}{12}(\beta {\mu }_0{)}^{-2}-\frac{{\pi }^4}{80}(\beta {\mu }_0{)}^{-4}+...]$,

яке виражає хімічний потенціал $\mu$ через параметри $\beta$ та ${\mu }_0$- хімічний потенціал при $T=0$. Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає $(\beta {\mu }_0{)}^{-2}\approx 10^{-4}$, що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Див. також

• Енергія Фермі
• Рівень Фермі
• Модель Фермі-газу

Література

• Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002 Шаблон:Webarchive
• Seiringer, Robert -; The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas — Commun. Math. Phys. 261, 729—758 (2006) Шаблон:Webarchive
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004 Шаблон:Webarchive