Довгі лінії

Довга лінія — лінія електропередачі, довжина якої перевищує довжину хвилі коливань, що поширюються в ній, а відстань між провідниками, з яких вона складається, значно менше довжини цієї хвилі. Вперше такі лінії з'явилися в 30-х роках XIX століття в телеграфії, а в кінці XX століття стали використовуватися для передачі енергії змінного струму.

В ідеальній лінії передач (без втрат енергії) розповсюджується тільки електромагнітні хвилі, в яких електричні та магнітні поля строго поперечні (ТЕМ-моди). Розподіл цих полів по перерізу точно повторює розподіл електростатичного поля $𝐄$ у циліндричному конденсаторі та магнітостатичного поля $𝐇$ в системі циліндричних провідників з поздовжніми струмами.

У загальному випадку, лінії можуть складатися не з двох, а з більшої кількості провідників ($N\gg 2$). Це дозволяє розповсюдженню $N-1$ незалежних мод, що не заважають одна одній (оскільки поля кожної моди знаходяться в своїй площині). Всі ТЕМ-моди розповсюджуються зі швидкістю світла в середовищі, яке залежить від конкретного виконання лінії передачі.

Розгляд лінії передачі проводиться шляхом формального розбиття на малі відрізки та введення поняття розподілених характеристик лінії: розподіленої ємності, тобто ємності на одиницю довжини $C_0$, та розподіленої індуктивності, тобто індуктивності на одиницю довжини $L_0$, що мають у SI розмірності Ф/м та Гн/м, відповідно.

Телеграфні рівняння

Еквівалентна схема елемента лінії передачі

Звичайно, елемент лінії передачі, на якому визначені $C_0$ та $L_0$ вибирають таким чином, щоб його довжина $dx$ була більшою за відстань між двома провідниками лінії ($l$):

$dx>l$.

Кожний такий елемент містить дві індуктивності :$0,5L_0{C}_0$, послідовно включені в обидва провідники лінії передачі, та дві ємності $C_{0}dx$, включені паралельно на обох кінцях індуктивностей.

Із рівнянь Кірхгофа, складених для такого чотириполюсника, можна записати два диференціальні рівняння, які пов'язують струми та напруги із реактивними розподіленими параметрами ЛП:

$\frac{\partial }{\partial x}V(x,t)=-L\frac{\partial }{\partial t}I(x,t)$

$\frac{\partial }{\partial x}I(x,t)=-C\frac{\partial }{\partial t}V(x,t)$,

які отримали назву телеграфних рівнянь, оскільки вперше були отримані Олівером Гевісайдом при розгляді телеграфної лінії. Шляхом повторного диференціювання ці рівняння можна привести до диференційних рівнянь другого порядку:

$\frac{{\partial }^2}{{\partial t}^2}V=\frac{1}{LC}\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}V$

$\frac{{\partial }^2}{{\partial t}^2}I=\frac{1}{LC}\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}I$

при виконанні умов:

$\frac{\partial C_0}{\partial x}=0$ та

$\frac{\partial L_0}{\partial x}=0$,

що визначають однорідність лінії передачі.

Загальний розв'язок даної задачі є суперпозицією плоских хвиль:

$I=I_0\exp [i(\omega t\pm kx)]$

$V=V_0{Z}_w\exp [i(\omega t\pm kx)]$

де

$k=\frac{\omega }{v}=\frac{2\pi }{\lambda }$-

хвильове число;

$v=\frac{1}{\sqrt{L_0{C}_0}}$-

швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі;

$Z_w=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$-

хвильовий опір хвилі в конкретному середовищі.

Очевидно, що $v<c$, де $c$- швидкість світла у вакуумі, а $Z_w>Z_0$, де $Z_0$- хвильовий опір вакууму. Оптимальна передача енергії в лінії передачі реалізується в режимі «біжучої хвилі», коли лінія передачі навантажена на опір, рівний хвильовому.

Література

• Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, 2-е изд. перераб., М.:Наука, 1969. — 478 с.
• Физический энциклопедический словарь. Под ред. Прохорова А. М., М.:Сов. энциклопедия, 1983. — 928 с.