Функція Гріна

Фу́нкція Грі́на — розв'язок неоднорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок за будь-якої неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці тощо. Позначається здебільшого $G$.

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна, який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х роках.

Просторова функція Гріна

При розв'язуванні задачі

$\hat{L}f(𝐫)=g(𝐫)$,

де $\hat{L}$ — лінійний оператор, заданий у просторі диференційовних функцій, f — невідома функція координат, а g — певна відома функція, зручно спиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

$\hat{L}G(𝐫,{𝐫}^{\prime })=\delta (𝐫-{𝐫}^{\prime })$,

де ${𝐫}^{\prime }$ — будь-яка точка простору, а $\delta (𝐫)$ — дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

$f(𝐫)=\int G(𝐫,{𝐫}^{\prime })g({𝐫}^{\prime })d{V}^{\prime }$

Приклади

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

$\mathrm{\Delta }G(𝐫,{𝐫}^{\prime })=-4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime }).$

Множник $-4\pi$ тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

$G(𝐫,{𝐫}^{\prime })=\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною $\rho (𝐫)$ записується

$\epsilon \mathrm{\Delta }\phi =-4\pi \rho$,

де $\epsilon$ — діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується

$\phi (𝐫)=\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{\epsilon |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$

Див. також

• Резольвента
• Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Література

• Функції Гріна у квантовій статистиці твердих тіл : посібник / І. В. Стасюк ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. – Львів : Вид-во ЛНУ, 2013. – 392 с. : іл. – Бібліогр. в кінці розділів. – ISBN 978-617-10-0048-3

Функции Грина в теории магнетизма: монография / В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонский. Киев. Наукова Думка, 1984. - 336 с.

Метод функцій Гріна в теорії Металів: монографія / В. Т. Швець. Одеса: Латстар, 2002. - 400 с.