Коло дев'яти точок

Дев’ять точок

Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Така назва через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:

• Середина кожної сторони трикутника;
• Основа кожної висоти;
• Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.

Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.

Доведення теореми про Коло 9 точок

Малюнок 2

Доведемо тепер, що точки — основи висот, — $H_1,H_2,H_3$, середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника, — $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },$ та основи медіан — $M_1,M_2,M_3$ лежать на одному колі (рис. 2). З'єднаємо точки $M_2$ та $A^{\prime }$ , $M_2$та $M_1$ , $M_1$та $B^{\prime }$ , $B^{\prime }$ та $A^{\prime }$. Отримаємо паралелограм $M_2{A}^{\prime }{B}^{\prime }{M}_1$, тому що $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — серединна лінія в трикутнику $ABH$, тобто відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ паралельний$AB$.  $M_1{M}_2$ — серединна лінія в трикутнику $ABC$, звідки випливає, що $A^{\prime }{B}^{\prime }$ паралельний $M_1{M}_2$. Аналогічним чином доводиться, що $A^{\prime }{M}_2$ паралельний $B^{\prime }{M}_1$,  але також паралельний висоті $C{H}_3$ , тоді $\mathrm{\angle }{M}_2{C}^{\prime }{B}^{\prime }=90^{\circ }$, звідки випливає, що $\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{M}_1{M}_2=90^{\circ }$. Тому паралелограм є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки $M_2$ та $C^{\prime }$,  $C^{\prime }$та $B^{\prime }$, $B^{\prime }$та $M_3$, $M_3$та $M_2$. Так само отримаємо, що $M_2{B}^{\prime }{C}^{\prime }{M}_3$ — прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тому ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основи медіан, належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу. $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{H}_1{M}_1=90^{\circ }$ та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола, утвореного з середин відрізків, отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, і основ медіан, тобто точка $H_1$ лежить на колі. Аналогічним чином  можна довести, що основи висот $H_2$ i $H_3$ також належать цьому колу.

Теорема Феєрбаха

Теорема Феєрбаха стверджує, що Шаблон:Рамка Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника. Шаблон:/рамка

Ця теорема була сформульована і доведена Карлом Вільгельмом Феєрбахом в 1822-у році.

Посилання

• Шаблон:Mathworld