Теорема Менелая

Теорему Менелая пов'язують з Менелаєм з Александрії (бл. 100 до н. е.), це теорема про трикутник на площині. Нехай дано точки A, B, C, які утворюють трикутник ABC і точки D, E, F, які лежать на прямих BC, AC, AB. Тоді теорема стверджує, що D, E, F колінеарні тоді і тільки тоді, якщо:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$

Обернена теорема Менелая.  Якщо для точок D, E, F, які лежать на прямих BC, CA i AB, що визначають трикутник ABC виконується співвідношення $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ то ці точки лежать на одній прямій.

В цій рівності AB та ін., означають лінійний розмір відрізків, який допускає від'ємне значення. Для прикладу, відношення AF / FB вважається додатнім тільки якщо пряма DEF перетинає сторону AB і так само для інших двох відношень.

Тригонометричний еквівалент:

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BA{A}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{A}^{\prime }AC}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }CB{B}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{B}^{\prime }BA}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }{C}^{\prime }CB}=-1$, де всі кути — орієнтовані.

• В сферичній геометрії теорема Менелая набуває вигляду

$\frac{\sin |A{B}^{\prime }|}{\sin |B^{\prime }C|}\cdot \frac{\sin |C{A}^{\prime }|}{\sin |A^{\prime }B|}\cdot \frac{\sin |B{C}^{\prime }|}{\sin |C^{\prime }A|}=1.$

• У гіперболічній геометрії теорема Менелая набуває вигляду

$\frac{\mathrm{sh}|A{B}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|B^{\prime }C|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|C{A}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|A^{\prime }B|}\cdot \frac{\mathrm{sh}|B{C}^{\prime }|}{\mathrm{sh}|C^{\prime }A|}=1.$

Джерела

• Шаблон:Mathworld