Точки Брокара

Точка Брокара трикутника утворена точкою перетину трьох кіл.

То́чки Брока́ра — особливі точки всередині трикутника, названі на честь Анрі Брокара, французького математика.

В трикутнику ABC зі сторонами a=ВС, b=AC і c=BA, в якому вершини A, B і C підписані за стрілкою годинника є тільки одна точка P така, що відрізки AP, BP і CP утворюють однаковий кут ω з відповідними сторонами c, a і b:

$\mathrm{\angle }PAB=\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA$

Точка P називається першою точкою Брокара трикутника ABC, а кут ω називається кутом Брокара трикутника. Для цього кута справедлива наступна рівність:

$\mathrm{ctg}\omega =\mathrm{ctg}\alpha +\mathrm{ctg}\beta +\mathrm{ctg}\gamma .$

Є також друга точка Брокара Q в трикутнику ABC така, що відрізки AQ, BQ і CQ утворюють однаковий кут із сторонами b, c та a відповідно:

$\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$

Варто зазначити, що друга точка Брокара має такий самий кут Брокара що й перша точка. Іншими словами:

$\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ дорівнює куту $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$.

Точки Брокара тісно між собою пов'язані. Фактично єдина різниця між першою і другою точкою полягає в порядку в якому взято кути трикутника. Тому, наприклад, перша точка Брокара трикутника ABC ідентична до другої точки Брокара трикутника ACB. Дві точки Брокара трикутника ABC є ізогонально спряженими одна з одною.