Подвійний потенціальний бар'єр

Подвійний потенціальний бар'єр - симетрична двобар'єрна структура є базова для розуміння фізичних основ формування зонних діаграм, принципів роботи наноелектронних пристроїв та їх конструювання. В цій структурі спостерігається несподіване явище - резонансне тунелювання, при якому коефіцієнт проходження рівний одиниці. При тунелюванні крізь одиночний бар'єр коефіцієнт проникності є надзвичайно малий, порядку $10^{-6}$. Здавалось би, добавка ще одного бар'єру тільки зменшить коефіцієнт проникності. Проте при певних значеннях енергії коефіцієнт проникності крізь двобар'єрну структуру рівний одиниці. У навчальній літературі розглянутий тільки частковий випадок такої структури з $\delta$ -бар'єрами. Імпенданса модель дозволяє отримати нові результати - аналітичні вирази для коефіцієнта відбиття та власних значень двобар'єрної структури.

Для двобар'єрної структури необхідно послідовно знаходити нормовані вхідні імпенданси $Z_1-Z_3$ на границях бар'єрів. Виконавши перетворення, знаходимо:

$Z_3=Z\frac{Z^3{A}^{2}B-Z^{2}AB+2Z^{2}A-Z{A}^2+ZB-Z-AB}{-Z^{3}AB-Z^2{A}^2+Z^{2}B-Z^2-ZAB+2ZA+A^{2}B}$

де $B=i\tan kb$ а $b$- ширина потенційної ями. Коефіцієнт відбиття:

$R=\frac{1-Z_3}{1+Z_3}=\frac{(1-Z^2)[2Z+(Z^2+1)AB]A}{(Z^4+1)A^{2}B+2Z[(Z^2+1)A-Z](1-B)-Z{A}^2}.$

Умова $R=0$ визначає вираз для власних значень:

$AB=-\frac{2Z}{Z^2+1},E>0,$

і $A=0$, або $Z=1,E>V_0$. Останні вирази відповідають власним значенням одиночного бар'єру. Можна відмітити, що при $E>0$ коефіцієнт відбиття $R=1$.

Останній вираз перетворюється до вигляду:

$AB=\frac{r^2-1}{r^2+1}$,

де $r=\frac{1-Z}{1+Z}$- коефіцієнт відбиття від стрибка потенціалу висотою $V_0$. Таким чином, в рамках імпендансної моделі власні значення симетричної двобар'єрної структури визначаються відносним імпедансом бар'єру або коефіцієнтом відбиття від стрибка потенціалу. Цей вивід ілюструє фізичну наглядність імпендансної моделі.

При $m=m_1$, із останнього виразу знаходимо

$tanh(\chi a)\tan kb=\frac{2\eta }{1-{\eta }^2}=\frac{\sqrt{E(V_0-E)}}{E-0.5V_0}$

де $\eta =\chi /k$. В діапазоні тунелювання, який представляє найбільший інтерес, величина $\chi$- реальна.

У випадку товстих бар'єрів, коли $\chi a\ge 1,$ що відповідає $a\ge {\lambda }_1/\pi ,$, $\chi a\approx 1$ тоді останній вираз відповідає відомому виразу для потенціальної ями.

У випадку тонких бар'єрів $\chi a\ll 2,$ $\tanh \chi a\approx \chi a$ останнє рівняння перетворюється до вигляду $\tan kb=k\hslash {}^2/[am(2E-V_0)].$ Для $\delta -$ бар'єрів, які описуються функцією типу $\alpha \delta (x)$ (де $\alpha >0$ - константа), $V_0=\alpha a==0$ При цьому $\tan kb=-k\hslash {}^2/\alpha m,$ що збігається із стандартними моделями.

Перепишимо останнє рівняння у вигляді:

$0=cosh(\chi a)\cos kb-\frac{1-{\chi }^2}{2\chi }sinh(\chi a)sin(kb)$

Права частина цього рівняння - дисперсійна характеристика періодичної надрешітки (НР), створеної бар'єрами що чередуються разом із ямамами. Дисперсійна характеристика періодичної $E(K)$, де $K$- блохівське хвильове число, являють собою зонний енергетичний спектр НР. В лівій частині дисперсійної характеристики стоїть $cos(K\mathrm{\Lambda })$, де $\mathrm{\Lambda }=a+b$- період структури. На границях заборонених зон $|\cos K\mathrm{\Lambda }|=1$, або $K\mathrm{\Lambda }=n_3\pi (n_3=1,2,...-$ номер забороненої зони). Останній вираз відповідає значенням дисперсійної характеристики поблизу середин дозволених енергетичних зон при $\cos K\mathrm{\Lambda }=0$, або $K\mathrm{\Lambda }=(2n_p-1)\pi /2(n_p=1,2,...-$ номер дозволеної зони). Приведені умови для $K\mathrm{\Lambda }$ в заборонених і дозволених зонах відповідає синфазній та протифазній інтерференції відбитих хвиль. Протифазна інтерференція відповідає резонансному тунелюванню електронів (РТЕ). Таким чином, отриманий вираз для власних значень двобар'єрної структури - базової комірки НР - має безпосередній зв'язок із дисперсійною характеристикою НР.

Перепишемо передостанній вираз у вигляді

$thg(p\pi x)\tan \pi x=\frac{\sqrt{\check{E}|\check{E}-1}}{\check{E}-0,5}$

$thg(x)=\{\begin{array}{cc}\tanh x& \check{E}<1\\ \tan x& \check{E}\ge 1\end{array}$

Тут $x=kb/\pi ;p=|{\check{E}}^{-1}-1{|}^{1/2}a/b$. Оскільки $x=2b/\lambda$ ($\lambda$- довжина хвилі електрону в області потенціальної ями), то $x=1,2,...-$ число напівхвиль електрону, які вкладаються в потенційній ямі. Із врахуванням залежності $k$ від $E$ маємо $x(E)=x(V_0){\check{E}}^{1/2}$, де $x(V_0))=\sqrt{2m{V}_0}b/\pi \hslash$.

Можна подати у вигляді графіка залежність $\check{E}$ від $x$, а також $x(\check{E})$, при $a=b,$ та $x(V_0)=2$. У всьому діапазоні власні значення змінюються від величин, приблизно рівних власним значенням потенціальної ями структури, до величин, які визначаються умовою взаємної компенсації чотирьох хвиль, відбитих від кожного стрибка потенціалу структури: $x=n/4,n=1,3,...$ Діапазон $\check{E}<1$ відповідає РТЕ. Повний спектр власних значень двобар'єрної структури включає також власні значення одиночного бар'єру у вигляді вертикальних ліній, розташованих в точках $x=1,2,...$ в діапазоні $\check{E}>1$.

Точки пересічення залежностей 1 та 2 визначають власні значення, рівні $\check{E}=0,14$ та $\check{E}=0,54$, при $x(V_0)=2$. Такому значенню $x(V_0)$ відповідають такі параметри: $V_0=0,24$, $a=b=25$А, $m=m_1=m_0$.

Якщо подати залежність $lg(T)$ від $\check{E}$ при $x(V_0)=2$, то значення ${\check{E}}_1$ та ${\check{E}}_2$ відповідають тим самим значенням, що і в першій площині. Одиночний бар'єр в порівнянні з бар'єром структури мають подвоєну товщину і відповідають двох бар'єрній структурі без потенціальної ями. Таким чином, вдалині від власних значень двобар'єрної структури, потенціальна яма практично не впливає на прохідну хвилю.

Див. також

• Дельта потенціальна яма
• Потенціальний бар'єр

Література

• Нелин Е.А. Импендансная модель для "барьерных" задач квантовой механики. Успехи физических наук, 177 (3) 307-313 (2007).

Посилання

• https://web.archive.org/web/20080516234040/http://www.wsi.tu-muenchen.de/nextnano3/tutorial/1Dtutorial_DoubleQW.htm