Логарифмічний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $Y$ задається функцією ймовірності:

$p_Y(k)\equiv \mathbb{P}(Y=k)=-\frac{1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k},k=1,2,3,\dots$,

де $0<p<1$.

Тоді кажуть, що $Y$ має логарифмічний розподіл з параметром $p$. Пишуть: $Y\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p)$. Функція розподілу випадкової величини $Y$ кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках:

$F_Y(y)=\{\begin{array}{ccc}0,& y<1& \\ 1+\frac{{\mathrm{B}}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},& y\in [k,k+1),& k=1,2,3,\dots \end{array}$,

де ${\mathrm{B}}_p$ — неповна бета-функція.

Зауваження

Те, що функція $p_Y(k)$ дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:

$\ln (1-p)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{p^k}{k}],0<p<1$,

звідки

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_Y(k)=1$.

Моменти

Твірна функція моментів випадкової величини $Y\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p)$ задається формулою

$M_Y(t)=\frac{\ln [1-p{e}^t]}{\ln [1-p]}$,

звідки

$𝔼[Y]=-\frac{1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$,

$\mathrm{D}[Y]=-p\frac{p+\ln (1-p)}{(1-p{)}^2{\ln }^2(1-p)}.$

Зв'язок з іншими розподілами

Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай $\{X_i{\}}_{i=1}^n$ послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що $X_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p),i=1,2,\dots$. Нехай $N\sim \mathrm{P}(\lambda )$ — Пуассонівська випадкова величина. Тоді

$Y=\sum _{i=1}^N{X}_i\sim \mathrm{N}\mathrm{B}.$

Див. також

• Вироджений розподіл

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:MathWorld