Зовнішня алгебра

Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком $\land$ ).

Визначення

Зовнішня алгебра векторного простору $V$ над полем $𝕂$ , це асоціативна алгебра над $𝕂$ , для якої виконується:

u \land v = - v \land u \forall u, v \in V

u \land u = 0 \forall u \in V

u \land k = k \land u, k \in 𝕂 .

Зовнішня алгебра позначається як $⋀ (V)$ і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначення

Для $r = \overline{0, n}$ підпростір $⋀^{r} (V)$ , з елементів виду $e_{i_{1}} \land . . . \land e_{i_{r}}$ , називається $r$ -им зовнішнім ступенем простору $V$ .

Простір $⋀ (V)$ є прямою сумою підпросторів виду $⋀^{r} (V)$ :

⋀ (V) = ⋀^{0} (V) \oplus ⋀^{1} (V) \oplus ⋀^{2} (V) \oplus \dots \oplus ⋀^{n} (V)

Властивості

\dim ⋀^{r} (V) = C_{n}^{r}

Приклади

Якщо є декартова площина $ℝ^{2}$ з ортонормованим базисом: $𝐞_{𝟏} = (1, 0), 𝐞_{𝟐} = (0, 1) .$

Нехай

𝐯 = a 𝐞_{𝟏} + b 𝐞_{𝟐}, 𝐰 = c 𝐞_{𝟏} + d 𝐞_{𝟐}

Тоді площа паралелограма основаного на векторах $𝐯, 𝐰$ :

A = | \det [\begin{matrix} 𝐯 & 𝐰 \end{matrix}] | = | v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1} | .

𝐯 \land 𝐰 = (v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2}) \land (w_{1} 𝐞_{1} + w_{2} 𝐞_{2}) = (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} .

Для двох векторів $𝐚$ і $𝐛$ їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

(1) (𝐚 \land 𝐛)_{i j} = a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i} = | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} \\ a_{j} & b_{j} \end{matrix} |

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю $2 \times 2$ мінорів наступної прямокутної $2 \times n$ матриці:

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \dots & \dots \\ a_{n} & b_{n} \end{matrix}]

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів $m$ , скільки є співмножників):

(2) (𝐚 \land 𝐛 \land \dots \land 𝐡)_{i j \dots p} = | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} & \dots & h_{i} \\ a_{j} & b_{j} & \dots & h_{j} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{p} & b_{p} & \dots & h_{p} \end{matrix} |

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю $m \times m$ мінорів прямокутної $m \times n$ матриці:

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & \dots & h_{1} \\ a_{2} & b_{2} & \dots & h_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n} & b_{n} & \dots & h_{n} \end{matrix}]

Основні властивості зовнішнього добутку

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

(3) 𝐛 \land 𝐚 \land \dots \land 𝐡 = - (𝐚 \land 𝐛 \land \dots \land 𝐡)

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

(4) (α 𝐚 + β 𝐱) \land 𝐛 \land \dots \land 𝐡 = α (𝐚 \land 𝐛 \land \dots \land 𝐡) + β (𝐱 \land 𝐛 \land \dots \land 𝐡)

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

α 𝐚 + β 𝐛 + \dots + χ 𝐡 = 0

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору $n$ , або якщо два будь-які співмножники збігаються:

(5) 𝐚 \land 𝐚 \land \dots = 0

Групування множників мультивектора

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора $𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜$ . Із перших двох множників складаємо бівектор:

(6) σ = 𝐚 \land 𝐛

тоді компоненти тривектора запишуться так:

(7) (𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜)_{i j k} = | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} & c_{i} \\ a_{j} & b_{j} & c_{j} \\ a_{k} & b_{k} & c_{k} \end{matrix} | =

= (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) c_{k} + (a_{k} b_{i} - a_{i} b_{k}) c_{j} + (a_{j} b_{k} - a_{k} b_{j}) c_{i} = σ_{i j} c_{k} + σ_{k i} c_{j} + σ_{j k} c_{i}

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

(8) σ \land 𝐜 = 𝐜 \land σ = σ_{i j} c_{k} + σ_{k i} c_{j} + σ_{j k} c_{i}

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора $a_{i}$ на мультивектор $τ_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 1}}$ :

(9) (𝐚 \land τ)_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = a_{i_{1}} τ_{i_{2} i_{3} \dots i_{m}} - a_{i_{2}} τ_{i_{1} i_{3} \dots i_{m}} + a_{i_{3}} τ_{i_{1} i_{3} \dots i_{m}} - \dots + (- 1)^{m - 1} a_{i_{m}} τ_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 1}}

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора $τ$ є вибіркою $m - 1$ індекса з набору $i_{1}, i_{2}, \dots i_{m}$ (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора $𝐚$ ).

Якщо число $m$ непарне, то внаслідок антисиметрії тензора $τ$ формулу (9) можна записати ще так:

(9 a) (𝐚 \land τ)_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = a_{[i_{1}} τ_{i_{2} i_{3} \dots i_{m}]}

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів $i_{1}, i_{2}, \dots i_{m}$ (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

(10) (σ \land ρ)_{i j k l} = (σ_{i j} ρ_{k l} + σ_{k i} ρ_{j l} + σ_{j k} ρ_{i l}) + (ρ_{i j} σ_{k l} + ρ_{k i} σ_{j l} + ρ_{j k} σ_{i l})

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток $k$ мультивекторів $τ_{1}, τ_{2} \dots τ_{k}$ рангів $m_{1}, m_{2}, \dots m_{k}$ відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

(11) \frac{(m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k})!}{m_{1}! m_{2}! \dots m_{k}!}

Мультивектор як орієнтована $m$ -вимірна площадка

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів $𝐱_{1}, \dots 𝐱_{m}; (m \leq n)$ :

(12) τ = 𝐱_{1} \land 𝐱_{2} \land \dots \land 𝐱_{m}

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори $𝐱_{i}$ лінійно незалежні, тобто вони визначають $m$ -вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів $m$ лінійних комбінацій:

(13) 𝐲_{i} = \sum_{j = 1}^{m} α_{i}^{j} 𝐱_{j}, i = 1, 2, \dots m

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

(14) \hat{τ} = 𝐲_{1} \land 𝐲_{2} \land \dots \land 𝐲_{m} = \sum_{j_{1}, j_{2}, \dots j_{m} = 1}^{m} α_{1}^{j_{1}} α_{1}^{j_{2}} \dots α_{m}^{j_{m}} (𝐱_{j_{1}} \land 𝐱_{j_{2}} \land \dots \land 𝐱_{j_{m}})

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси $j_{1}, j_{2}, \dots j_{m}$ різні, тобто є перестановкою чисел $1, 2, \dots m$ . Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

𝐱_{1} \land 𝐱_{2} \land \dots \land 𝐱_{m}

а знак дорівнює $+ 1$ , коли $j_{1}, j_{2}, \dots j_{m}$ є парною перестановкою чисел $1, 2, \dots m$ , і дорівнює $- 1$ для непарних перестановок. Тому маємо:

(15) \hat{τ} = d e t (α) (𝐱_{1} \land 𝐱_{2} \land \dots \land 𝐱_{m})

Як бачимо, новий мультивектор $\hat{τ}$ пропорційний мультивектору $τ$ . Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

(16) d e t (α_{j}^{i}) = 1

Отже компоненти мультивектора $τ$ не прив'язані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого $m$ -вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрів

Довільний антисиметричний тензор $m$ -рангу $t_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ має таку кількість незалежних компонент:

(17) N_{t} = C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Дійсно, для кожної виборки $m$ індексів $i_{1}, i_{2}, \dots i_{m}$ із $n$ чисел $1, 2, \dots n$ ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ , і приписати довільне значення компоненті тензора $t_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ . Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор $τ = 𝐱_{1} \land 𝐱_{2} \land \dots \land 𝐱_{m}$ рангу $m$ . Його компоненти обчислюються за формулою (2) через $m n$ чисел - координат векторів $𝐱_{1}, 𝐱_{2}, \dots 𝐱_{m}$ . Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку $m n$ треба відняти число $m^{2}$ - кількість коефіцієнтів матриці переходу $α_{i}^{j}$ . І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор $τ$ залежить від такої кількості параметрів:

(18) N_{τ} = m n - m^{2} + 1 = m (n - m) + 1

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити $m$ на $n - m$ . Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу $m$ : скалярів ( $m = 0$ ), векторів ( $m = 1$ ), псевдовекторів ( $m = n - 1$ ) і псевдоскалярів ( $m = n$ ). Покажемо, що для всіх інших значень $2 \leq m \leq n - 2$ (звісно при $n \geq 4$ ) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

(19) C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k} + C_{n - 1}^{k - 1}

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

(20) N_{t} = C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m} + C_{n - 2}^{m - 1} + \dots + C_{n - m}^{1} + C_{n - m - 1}^{0} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} C_{n - m - 1 + k}^{k}

Позначимо $p = (n - 1) - m > 0$ , і знаходимо різницю:

(21) Δ N = N_{t} - N_{τ} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} C_{p + k}^{k} - m (n - m) - 1 = \sum_{k = 1}^{m} (C_{p + k}^{k} - (n - m)) = \sum_{k = 1}^{m} (C_{p + k}^{k} - C_{p + 1}^{1})

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при $k = 1$ ), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки $m \geq 2$ . Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

(22) C_{p + k}^{k} = C_{p + k - 1}^{k} + C_{p + k - 1}^{k - 1} > C_{p + k - 1}^{k - 1} > C_{p + k - 2}^{k - 2} > \dots > C_{p + 1}^{1}

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор $t_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}}$ рангу $m$ .

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

(23) 𝐞^{(1)} = {1, 0, \dots 0}; 𝐞^{(2)} = {0, 1, \dots 0}; \dots 𝐞^{(n)} = {0, 0, \dots 1}

або в координатах:

(23 a) e_{j}^{(i)} = δ_{j}^{i} (i, j \in {1, 2, \dots n})

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу $m$ :

(24) 𝐄^{(i_{1} i_{2} \dots i_{m})} = 𝐞^{(i_{1})} \land 𝐞^{(i_{2})} \land \dots \land 𝐞^{(i_{m})}

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

(25) (𝐄^{(i_{1} i_{2} \dots i_{m})})_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} = 1

Тому тензор $𝐭$ можна записати у вигляді суми:

(26) 𝐭 = \sum_{i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}} t_{i_{1} i_{2} \dots i_{m}} 𝐄^{(i_{1} i_{2} \dots i_{m})}

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо $τ, σ, ρ$ довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добутку

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор $g_{i j}$ . Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор $σ = 𝐚 \land 𝐛$ :

(27) σ_{i j} σ^{i j} = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (a^{i} b^{j} - a^{j} b^{i}) = 2 (| 𝐚 |^{2} | 𝐛 |^{2} - (𝐚 \cdot 𝐛)^{2}) =

= 2! | \begin{matrix} (𝐚 \cdot 𝐚) & (𝐚 \cdot 𝐛) \\ (𝐚 \cdot 𝐛) & (𝐛 \cdot 𝐛) \end{matrix} |

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі $S = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin ϕ$ паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

(28) | 𝐚 \land 𝐛 | = S = \sqrt{\sum_{i < j} σ_{i j} σ^{i j}}

Відмітимо формулу:

(29) | 𝐚 \land 𝐛 |^{2} + (𝐚 \cdot 𝐛)^{2} = (| 𝐚 | | 𝐛 |)^{2}

Тепер піднесемо до квадрата тривектор $τ = 𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜$ .

(30) τ_{i j k} τ^{i j k} = (a_{i} b_{j} c_{k} + a_{j} b_{k} c_{i} + a_{k} b_{i} c_{j} - a_{i} b_{k} c_{j} - a_{j} b_{i} c_{k} - a_{k} b_{j} c_{i}) (a^{i} b^{j} c^{k} + a^{j} b^{k} c^{i} + a^{k} b^{i} c^{j} - a^{i} b^{k} c^{j} - a^{j} b^{i} c^{k} - a^{k} b^{j} c^{i}) =

= 3! | \begin{matrix} (𝐚 \cdot 𝐚) & (𝐛 \cdot 𝐚) & (𝐜 \cdot 𝐚) \\ (𝐚 \cdot 𝐛) & (𝐛 \cdot 𝐛) & (𝐜 \cdot 𝐛) \\ (𝐚 \cdot 𝐜) & (𝐛 \cdot 𝐜) & (𝐜 \cdot 𝐜) \end{matrix} |

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму $V$ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

(31) | 𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜 | = V = \sqrt{\sum_{i < j < k} τ_{i j k} τ^{i j k}}

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку $m$ векторів дорівнює $m$ -мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої $m$ -мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з вектором

Розглянемо спочатку згортку тривектора $𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜$ з контраваріантним вектором $v^{p}$ . Результат згортки буде деякий тензор $σ_{i j}$ другого рангу:

(31) σ_{i j} = (𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜)_{i j k} v^{k}

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори $\tilde{𝐚}, \tilde{𝐛}$ що $σ = \tilde{𝐚} \land \tilde{𝐛}$ . Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

(32) σ_{i j} = | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} & c_{i} \\ a_{j} & b_{j} & c_{j} \\ a_{k} & b_{k} & c_{k} \end{matrix} | v^{k} = | \begin{matrix} a_{i} & b_{i} & c_{i} \\ a_{j} & b_{j} & c_{j} \\ (𝐚 \cdot 𝐯) & (𝐛 \cdot 𝐯) & (𝐜 \cdot 𝐯) \end{matrix} |

Якщо вектор $𝐯$ ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів $𝐚, 𝐛, 𝐜$ , то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор $𝐯$ буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад $(𝐜 \cdot 𝐯) \neq 0$ . Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

(33) σ_{i j} = | \begin{matrix} a_{i} - \frac{(𝐚 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{i} & b_{i} - \frac{(𝐛 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{i} & 0 \\ a_{j} - \frac{(𝐚 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{j} & b_{j} - \frac{(𝐛 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{j} & 0 \\ (𝐚 \cdot 𝐯) & (𝐛 \cdot 𝐯) & (𝐜 \cdot 𝐯) \end{matrix} | =

= (𝐜 \cdot 𝐯) | \begin{matrix} a_{i} - \frac{(𝐚 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{i} & b_{i} - \frac{(𝐛 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{i} \\ a_{j} - \frac{(𝐚 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{j} & b_{j} - \frac{(𝐛 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} c_{j} \end{matrix} |

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

(34) \tilde{𝐚} = (𝐜 \cdot 𝐯) 𝐚 - (𝐚 \cdot 𝐯) 𝐜, \tilde{𝐛} = 𝐛 - \frac{(𝐛 \cdot 𝐯)}{(𝐜 \cdot 𝐯)} 𝐜

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

(35) σ = \tilde{𝐚} \land \tilde{𝐛}

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторів

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

(36) σ = τ \cdot 𝐯

(36 a) (τ \cdot 𝐯)_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 1}} = τ_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 1} k} v^{k}

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор $𝐯$ ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор $τ$ , то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором $σ = τ \cdot 𝐯$ , який повністю лежить у підпросторі мультивектора $τ$ (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в $τ$ ). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор $𝐯$ :

(37) ((τ \cdot 𝐯) \cdot 𝐯)_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 2}} = τ_{i_{1} i_{2} \dots i_{m - 2} j k} v^{j} v^{k} = 0

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах $j, k$ .

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

(38) a^{j} (𝐛 \land 𝐜)_{i j} = a^{j} (b_{i} c_{j} - b_{j} c_{i}) = b_{i} (𝐚 \cdot 𝐜) - c_{i} (𝐚 \cdot 𝐛)

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

(39) 𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜 = 𝐛 \land 𝐜 \land 𝐚 = 𝐜 \land 𝐚 \land 𝐛

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

(40) 𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 (𝐚 \cdot 𝐜) - 𝐜 (𝐚 \cdot 𝐛)

(41) 𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 \cdot (𝐜 \times 𝐚) = 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛)

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

(42) (𝐚 \times 𝐛)^{i} = ϵ^{i j k} a_{j} b_{k} = \sum_{j < k} ϵ^{i j k} (a_{j} b_{k} - a_{k} b_{j})

де $ϵ^{i j k}$ є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.

Джерела

Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра

Шаблон:Math-stub

Зовнішня алгебра

Зміст

Визначення

Зв'язані визначення

Властивості

Приклади

Основні властивості зовнішнього добутку

Групування множників мультивектора

Мультивектор як орієнтована $m$ -вимірна площадка

Підрахунок кількості параметрів

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів

Метричні властивості зовнішнього добутку

Згортка мультивектора з вектором

Внутрішній добуток мультивекторів

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі

Джерела

Навігаційне меню

Зовнішня алгебра

Визначення

Зв'язані визначення

Властивості

Приклади

Основні властивості зовнішнього добутку

Групування множників мультивектора

Мультивектор як орієнтована m-вимірна площадка

Підрахунок кількості параметрів

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів

Метричні властивості зовнішнього добутку

Згортка мультивектора з вектором

Внутрішній добуток мультивекторів

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі

Джерела

Навігаційне меню

Пошук

Мультивектор як орієнтована $m$ -вимірна площадка