Теорема тангенсів

Шаблон:Тригонометрія Теорема тангенсів — тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині.

Теорема тангенсів, хоча й не настільки широко відома як теорема синусів або теорема косинусів, достатньо корисна, і може бути використана в тих випадках, коли відомі дві сторони і один кут, або, навпаки, два кути й одна сторона.

Формулювання

Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}[\frac{1}{2}(A+B)]}{\mathrm{t}\mathrm{g}[\frac{1}{2}(A-B)]}$

Доведення

Почнемо із (a + b)/(a — b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{a\cdot \frac{\sin A}{a}+b\cdot \frac{\sin B}{b}}{a\cdot \frac{\sin A}{a}-b\cdot \frac{\sin B}{b}}$

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin (A)+\sin (B)}{\sin (A)-\sin (B)}=\frac{2\sin [\frac{1}{2}(A+B)]\cdot \cos [\frac{1}{2}(A-B)]}{2\cos [\frac{1}{2}(A+B)]\cdot \sin [\frac{1}{2}(A-B)]}$

(Дивись: Тригонометричні функції)

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin [\frac{1}{2}(A+B)]}{\cos [\frac{1}{2}(A+B)]}\cdot \frac{\cos [\frac{1}{2}(A-B)]}{\sin [\frac{1}{2}(A-B)]}$

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan [\frac{1}{2}(A-B)]}$

Доведення з використанням формул Мольвейде

Формули Мольвейде мають такий вигляд:

$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{C}{2}};$

$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{A-B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}.$

де $A,B,C$ — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і $a,b,c$ — довжини сторін відповідно між вершинами $B$ і $C$, $C$ і $A$, $A$ і $B$.

Поділивши порізно праві і ліві частини двох останніх рівностей і прирівнявши два отриманих результати, маємо

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}}.$

З урахуванням того, що $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}$, остаточно маємо:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A-B}{2}},$

що й потрібно було довести.

Історія

Теорему тангенсів для сферичних кутів описав у XIII столітті перським математиком Насир ад-Дін ат-Тусі (1201—1274), який у своїй п'ятитомній роботі Трактат про повний чотирикутник також навів теорему синусів для плоских трикутників.

Теорему також називають формулою Реґіомонтана за ім'ям німецького астронома й математика Йоганна Мюллера (Шаблон:Lang-la), який отримав цю формулу. Й. Мюллера називали «Кенігсбержцем»: німецькою König Шаблон:Webarchive — король, Berg Шаблон:Webarchive — гора, а латинською «король» і «гора» в родовому відмінку — regis і montis Шаблон:Webarchive. Звідси «Реґіомонтан» — латинізоване прізвисько Й. Мюллера.

Див. також

• Теорема синусів
• Теорема косинусів