Полівектор

Мультивектор, р-вектор, векторного простору $V$ — елемент деякого зовнішнього ступеня $\bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^p$ простору $V$ над полем $K$. p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на $V$.

2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуальний до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.

Неоднозначність представлення бівектора векторами

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів $𝐚$ і $𝐛$:

$(8)𝐱=\alpha 𝐚+\beta 𝐛,𝐲=\gamma 𝐚+\delta 𝐛$

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

$(8)𝐱\wedge 𝐲=(\alpha 𝐚+\beta 𝐛)\wedge (\gamma 𝐚+\delta 𝐛)=(\alpha \delta -\beta \gamma )(𝐚\wedge 𝐛)$

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

$(9)\alpha \delta -\beta \gamma =\left|\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right|$

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині $\mathit{\sigma }$), то бівектор виражається через нові вектори $𝐱$ і $𝐲$ так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

$(10)\mathit{\sigma }=𝐱\wedge 𝐲$

Паралельність вектора до бівектора

Нехай ми маємо вектор $𝐯$ і бівектор $\mathit{\sigma }$. Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

$(11)(\mathit{\sigma }\wedge 𝐯{)}_{ijk}=(𝐚\wedge 𝐛\wedge 𝐯{)}_{ijk}=$

$=\left|\begin{array}{ccc}{a}_i& b_i& v_i\\ a_j& b_j& v_j\\ a_k& b_k& v_k\end{array}\right|=(a_i{b}_j-a_j{b}_i)v_k+(a_k{b}_i-a_i{b}_k)v_j+(a_j{b}_k-a_k{b}_j)v_i=$

$={\sigma }_{ij}{v}_k+{\sigma }_{ki}{v}_j+{\sigma }_{jk}{v}_i$

Якщо вектор $𝐯$ буде лінійною комбінацією векторів $𝐚$ і $𝐛$, то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

$(12){\sigma }_{ij}{v}_k+{\sigma }_{ki}{v}_j+{\sigma }_{jk}{v}_i=0$

Алгебраїчна залежність компонент бівектора

Оскільки вектори $𝐚$ і $𝐛$ лежать у площині бівектора $\mathit{\sigma }$, то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів $i,j,k,l$ знаходимо:

$(13){\sigma }_{ij}{\sigma }_{kl}+{\sigma }_{ki}{\sigma }_{jl}+{\sigma }_{jk}{\sigma }_{il}={\sigma }_{ij}(a_k{b}_l-a_l{b}_k)+{\sigma }_{ki}(a_j{b}_l-a_l{b}_j)+{\sigma }_{jk}(a_i{b}_l-a_l{b}_i)=$

$=({\sigma }_{ij}{a}_k+{\sigma }_{ki}{a}_j+{\sigma }_{jk}{a}_i)b_l-({\sigma }_{ij}{b}_k+{\sigma }_{ki}{b}_j+{\sigma }_{jk}{b}_i)a_l=0$

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

$(14){\sigma }_{ij}{\sigma }_{kl}+{\sigma }_{ki}{\sigma }_{jl}+{\sigma }_{jk}{\sigma }_{il}=0$

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори $𝐚$ і $𝐛$, що виконується рівність (1).

Нехай тензор ${\sigma }_{ij}$ ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів $k,l$ маємо ${\sigma }_{kl}\ne 0$. Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів $i,j$:

$(15){\sigma }_{ij}=\frac{{\sigma }_{ik}{\sigma }_{il}-{\sigma }_{jk}{\sigma }_{il}}{{\sigma }_{kl}}$

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа $k,l$ фіксовані):

$(16)a_i=\frac{{\sigma }_{ik}}{{\sigma }_{kl}},b_i={\sigma }_{il}$

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Підрахунок кількості параметрів бівектора

Антисиметричний тензор другого рангу має $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через $2n$ чисел $a_1,a_2,\dots a_n,b_1,b_2,\dots b_n$, але оскільки є деяка довільність у виборі векторів $𝐚$ і $𝐛$ (формула 8) і ми можемо в рівності

$(17)\alpha \delta -\beta \gamma =1$

три параметри обрати довільно, то бівектор має $2n-3$ алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

$(18)\mathrm{\Delta }N=\frac{n(n-1)}{2}-(2n-3)=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекси з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обов'язково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо ${\sigma }_{ii}=0$), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів $𝐚$ і $𝐛$, що виконується рівність (1).

Норма (величина) бівектора

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

$(19){\sigma }_{ij}{\sigma }^{ij}=(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(a^i{b}^j-a^i{b}^j)=a_i{b}_j{a}^i{b}^j-a_i{b}_j{a}^j{b}^i-a_j{b}_i{a}^i{b}^j+a_j{b}_i{a}^j{b}^i=$

$=2(|𝐚{|}^2|𝐛{|}^2-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2)=2|𝐚{|}^2|𝐛{|}^2(1-{\cos }^2\varphi )=2(|𝐚||𝐛|\sin \varphi {)}^2$

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах $𝐚$ і $𝐛$. Ця площа і називається нормою бівектора.

$(20)|\mathit{\sigma }|=\sqrt{\sum _{i<j}{\sigma }_{ij}{\sigma }^{ij}}$

Бівектор як лінійний оператор

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором $𝐱$:

$(21)y_i={\sigma }_{ij}{x}^i=(a_i{b}_j-a_j{b}_i)x^j=a_i(𝐛\cdot 𝐱)-b_i(𝐚\cdot 𝐱)$

В результаті цієї операції ми маємо вектор $𝐲$, що є лінійною комбінацією векторів $𝐚$ і $𝐛$, тобто лежить в площині $\sigma$. Якщо вектор $𝐱$ ортогональний до площини $\sigma$, то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор $𝐱$ лежить у площині $\sigma$, наприклад $𝐚$, то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на $\pi /2$, і розтягнутий в $|\mathit{\sigma }|$ разів:

$(22)𝐲=𝐚(𝐚\cdot 𝐛)-𝐛a^2,(𝐲\cdot 𝐚)=0,$

$y^2=(𝐚(𝐚\cdot 𝐛)-𝐛a^2)=a^2(𝐚\cdot 𝐛{)}^2-2a^2(𝐚\cdot 𝐛{)}^2+b^2(a^2{)}^2=a^2(a^2{b}^2-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2)=(|𝐚||\mathit{\sigma }|{)}^2$

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проєкцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут $\pi /2$.

Література

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрияШаблон:Недоступне посилання, — Наука, Москва, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.