Ненавантажене резервування

Ненавантажене резервування — спосіб резервування елементів, при якому резервні елементи знаходяться у вимкненому стані і мають знехтовно малу інтенсивність відмови. У теорії систем з ненавантаженим резервуванням ця інтенсивність вважається рівною 0. Розрізняють невідновлювані і відновлювані системи з ненавантаженим резервуванням.

Невідновлювані системи. Хай система складається з $n$ основних елементів з густиною часу безвідмовної роботи $\lambda e^{-\lambda t},t>0$ і $m$ резервних елементів. Відмова системи наступає в мить, коли число елементів, що відмовили, приймає значення $m+1$ . Тоді час безвідмовної роботи системи має густину ймовірності $\lambda n\frac{{\left(\lambda nt\right)}^m}{m!}{e}^{-\lambda nt}$; середній час безвідмовної роботи $\frac{m+1}{\lambda n}$; ймовірність того, що система не відмовить за час $t$ складає $e^{-\lambda nt}\sum _{k=0}^m\frac{{\left(\lambda nt\right)}^k}{k!}$

Відновлювані системи. Хай $n$, $m$, $\lambda$— ті ж параметри, що і в невідновлюваних системах, і елементи, що відмовили, відновлюються операторами, кожний з яких відновлює один елемент протягом випадкового часу з густиною $\mu e^{-\lambda t},t>0$

Позначимо через $T_k$ математичне сподівання часу до відмови системи за умови, що у момент $t=0$ число несправних елементів дорівнює $k$. Тоді $T_k$ визначається розв'язком системи рівнянь

$T_k=\frac{1}{\lambda n+{\mu }_k}+\frac{\lambda n}{\lambda n+{\mu }_k}{T}_{k+1}+\frac{{\mu }_k}{\lambda n+{\mu }_k}{T}_{k-1},k=0,1,\dots ,m,$ де ${\mu }_k=\mu k$ при $k\le r$ — ${\mu }_k=\mu r$ при $k>r$; $T_{-1}=T_{m+1}=0$. Якщо $\lambda \ll \mu$, то наближений вираз середнього часу між відмовами системи має вигляд ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_m/{\left(\lambda n\right)}^{m+1}.$

Нехай система складається з одного основного і одного резервного елемента $\xi$— випадковий час безвідмовної роботи елемента, $\alpha$ — ймовірність відновлення резервного елемента за час $\xi$. Тоді при малих $1-\alpha$ її час безвідмовної роботи системи має розподіл, близький до розподілу з густиною $\nu e^{-\nu t}$, де $(1-\alpha )/M\xi$.

І. М. Коваленко

Література

• Шаблон:ЕК