Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу — симетричний 4-тензор, визначений у просторі-часі, який водночас задає густину енергії та її потоків і визначає закон зміни цих величин при переході від однієї системи відліку до іншої.

Тензор енергії-імпульсу в загальному випадку має вигляд:

$T=\left(\begin{array}{cccc}W& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& {\hat{\sigma }}_{xx}& {\hat{\sigma }}_{xy}& {\hat{\sigma }}_{xz}\\ S_y/c& {\hat{\sigma }}_{yx}& {\hat{\sigma }}_{yy}& {\hat{\sigma }}_{yz}\\ S_z/c& {\hat{\sigma }}_{zx}& {\hat{\sigma }}_{zy}& {\hat{\sigma }}_{zz}\end{array}\right)$

де W — густина енергії, $S_i$ — потік енергії в напрямку, який задається координатою i, ${\hat{\sigma }}_{ij}=\rho v_i{v}_j+{\sigma }_{ij}$, де ${\sigma }_{ij}$ — тензор у звичайному просторі, який називають тензором напружень.

Для тензора енергії-імпульсу справедливе співвідношення

$\frac{\partial T_i^k}{\partial x^k}=0$,

яке є локальним виразом законів збереження енергії та імпульсу.

Очевидна також симетрія тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$ щодо перестановок індексів. Ця властивість виражає локальний закон збереження моменту імпульсу.

Значення тензора енергії-імпульсу в тому, що він входить до основного рівняння загальної теорії відносності — рівняння Ейнштейна, і, таким чином дозволяє доповнити ці рівняння рівняннями стану речовини.

Класичний розгляд неперервної речовини

В класичній механіці рух неперервної речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-вимірного простору (x, y, z) і в деякий момент часу t описується густиною:

$(1)\rho =\rho (x,y,z,t)=\frac{dm}{dV}$

а також швидкістю в цій точці:

$(2)𝐯=𝐯(x,y,z,t)$

і тензором напружень ${\sigma }_{\alpha \beta }$, який описує силову взаємодію частинки речовини з сусідніми частинками.

$(3){\sigma }_{\alpha \beta }={\sigma }_{\alpha \beta }(x,y,z,t)$

У випадку рідини чи газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск $p$ формулою:

$(4){\sigma }_{\alpha \beta }=p{\delta }_{\alpha \beta }$

тобто тиск діє в усіх напрямках однаково (закон Паскаля).

Релятивістський розгляд неперервної речовини

Як відомо, енергія та імпульс повинні розглядатися в поєднанні зі швидкістю, що описується чотири-вектором енергії-імпульсу:

$(6)p_{\alpha }=\{\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\}$

Оскільки речовина «розмазана» в просторі, виділимо в якийсь момент часу ($t=t_0$) елемент об'єму $\mathrm{\Delta }V$. Величина чотири-вектора енергії-імпульсу $\mathrm{\Delta }{p}_{\alpha }$ для частини речовини, що потрапила в цей об'єм, пропорційна самому об'єму з деякими коефіцієнтами пропорційності ${\tilde{\rho }}_{\alpha }$:

$(7)\mathrm{\Delta }{p}_{\alpha }={\tilde{\rho }}_{\alpha }\mathrm{\Delta }V$

Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Дослідимо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє добуток в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об'єму $\mathrm{\Delta }V$, представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах $𝐚,𝐛,𝐜$. Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першою (часовою) координатою. Об'єм є величиною тензора третього рангу, що складений зовнішнім добутком цих векторів:

$(8)\mathrm{\Delta }{V}_{\alpha \beta \gamma }={(𝐚\wedge 𝐛\wedge 𝐜)}_{\alpha \beta \gamma }$

Користуючись одиничним антисиметричним тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:

$(9)\mathrm{\Delta }{V}^{\lambda }=i{\epsilon }^{\lambda \alpha \beta \gamma }{a}_{\alpha }{b}_{\beta }{c}_{\gamma }=\sqrt{-g}{\hat{\epsilon }}^{\lambda \alpha \beta \gamma }{a}_{\alpha }{b}_{\beta }{c}_{\gamma }$

де g — детермінант метричного тензора.

В цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора $\mathrm{\Delta }{V}^{\lambda }$ були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює об'єму $\mathrm{\Delta }V$, а напрям ортогональний до складових векторів $𝐚,𝐛,𝐜$. Тобто у вибраній системі координат він напрямлений вздовж осі часу:

$(10)\mathrm{\Delta }{V}^{\lambda }=\{\frac{\mathrm{\Delta }V}{c},0,0,0\}$

Тепер ми можемо, змінюючи при потребі позначення коефіцієнтів ${\tilde{\rho }}_{\alpha }$ переписати формулу (7) так:

$(11)\mathrm{\Delta }{p}_{\alpha }={\tilde{\rho }}_{\alpha 0}\frac{\mathrm{\Delta }{V}^0}{c}=c{\tilde{\rho }}_{\alpha 0}\mathrm{\Delta }{V}^0+c{\tilde{\rho }}_{\alpha 1}\mathrm{\Delta }{V}^1+c{\tilde{\rho }}_{\alpha 2}\mathrm{\Delta }{V}^2+c{\tilde{\rho }}_{\alpha 3}\mathrm{\Delta }{V}^3$

У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс «нуль» у позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно з (10) просторові компоненти вектора $\mathrm{\Delta }V$ дорівнюють нулю).

Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. Позначимо тензор $T_{\alpha \beta }=c{\tilde{\rho }}_{\alpha \beta }$ і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент об'єму $\mathrm{\Delta }V$, згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотиривектором об'єму:

$(12)\mathrm{\Delta }{p}_{\alpha }=T_{\alpha \beta }\mathrm{\Delta }{V}^{\beta }$

Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що коли $\alpha =0$

$(13)\frac{\mathrm{\Delta }E}{c}=T_{00}\mathrm{\Delta }{V}^0=T_{00}\frac{\mathrm{\Delta }V}{c}$

$(13a)T_{00}=\frac{\mathrm{\Delta }E}{\mathrm{\Delta }V}$

тобто верхній лівий елемент матриці $T$ має смисл густини енергії.

Тепер прирівняємо індекс $\alpha$ одній з просторових координат, наприклад $\alpha =1$. Тоді

$(14)\mathrm{\Delta }{p}_1=T_{10}\mathrm{\Delta }{V}^0=T_{10}\frac{\mathrm{\Delta }V}{c}$

Звідки ми можемо виразити $T_{10}$ двома способами, беручи до уваги зв'язок імпульсу з масою $\mathrm{\Delta }{p}_1=\mathrm{\Delta }m{v}_1$ та формулу Ейнштейна $\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }m{c}^2$:

$(15)T_{10}=c\frac{\mathrm{\Delta }{p}_1}{\mathrm{\Delta }V}=\frac{1}{c}{v}_1\frac{\mathrm{\Delta }E}{\mathrm{\Delta }V}$

Відповідно маємо два трактування компоненти $T_{10}$: або густина проєкції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, поділений на швидкість світла.

Закон збереження енергії та імпульсу

В класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те саме стосується енергії, якщо розглядати дію тільки консервативних сил. Спробуємо з'ясувати, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.

Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію додавання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, здійснивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначною лише для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликої, обмеженої в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб усі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутною декартовою.

Виберемо фіксований момент часу $t=t_{(1)}$ i знайдемо сукупний чотири-вектор енергії-імпульсу системи, проінтегрувавши формулу (12) по всьому тривимірному простору (який є гіперплощиною в чотиривимірному просторі-часі):

$(16)P_i^{(1)}=\underset{t=t_{(1)}}{\int }{T}_{i0}d{V}^0$

В інший момент часу $t=t_{(2)}$ чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплощинами:

$(17)0=P_i^{(2)}-P_i^{(1)}=\int (T_{i0}{|}_{t_{(2)}}-T_{i0}{|}_{t_{(1)}})d{V}^0=\int \frac{\partial T_{i0}}{\partial t}dtd{V}^0=\int \frac{\partial T_{i0}}{\partial x_0}d\tau$

В останньому інтегралі диференціал $d\tau$ є інваріантним елементом чотиривимірного об'єму (див. Інтегрування по об'єму многовида):

$(18)d\tau =d(ct)d{V}^0=d{x}_{0}d{V}^0=\sqrt{-g}d{x}^{0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3$

Оскільки всі фізичні закони мають носити тензорний характер (а отже не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральну функцію в правій частині (17) ми повинні замінити на істинний скаляр:

$(19){\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}=g^{jk}\frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k}=\frac{\partial T_{i0}}{\partial x^0}-\frac{\partial T_{i1}}{\partial x^1}-\frac{\partial T_{i2}}{\partial x^2}-\frac{\partial T_{i3}}{\partial x^3}$

диференціальний оператор ${\mathrm{\nabla }}^j=g^{jk}{\mathrm{\nabla }}_k$ (називається «набла» або коваріантна похідна, див. статтю Диференціальна геометрія) визначений навіть для кривого простору формулою:

$(20){\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}=g^{jk}{\mathrm{\nabla }}_k{T}_{ij}=g^{jk}(\frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k}-{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s{T}_{sj}-{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^s{T}_{is})$

У випадку метрики Мінковського:

$(21)(g_{ij})=(g^{ij})=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля в формулі (20) дорівнюють нулю, чим ми і скористалися в перетвореннях формули (19).

Перевіримо, що «зайві» три доданки в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти достатньо великий тривимірний прямокутний паралелепіпед:

$(22)P=\{x_{(1)}<x<x_{(2)},y_{(1)}<y<y_{(2)},z_{(1)}<z<z_{(2)}\}$

в якому повністю міститься система в розлядуваному інтервалі часу ($t\in \{t_{(1)},t_{(2)}\}$). Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда $P$ (а також на його стінках), тензор енергії-імпульсу $T_{ij}$ разом зі своїми похідними $\frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k}$ перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпедом $P$ і перейти від кратного до повторного інтеграла:

$(23)\underset{P}{\int }{\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}d\tau =\underset{t_{(1)}}{\overset{t_{(2)}}{\int }}d(ct)\underset{x_{(1)}}{\overset{x_{(2)}}{\int }}dx\underset{y_{(1)}}{\overset{y_{(2)}}{\int }}dy\underset{z_{(1)}}{\overset{z_{(2)}}{\int }}{\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}dz$

Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то одержимо нуль:

$(24)\underset{z_{(1)}}{\overset{z_{(2)}}{\int }}\frac{\partial Ti3}{\partial z}dz=T_{i3}{|}_{z_{(2)}}-T_{i3}{|}_{z_{(1)}}=0$

оскільки на гранях паралелепіпеда $P$ тензор енергії-імпульсу перетворюється в нуль. Аналогічно і інтеграл від середніх двох доданків в формулі (19) дорівнює нулю. Таким чином, закон збереження енергії та імпульсу виражається формулою:

$(25)\int {\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}d\tau =0$

де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплощинами.

Локальний закон збереження енергії та імпульсу

Формулу (25) не можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках не можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного переносу векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.

Окрім того, інтегральний закон збереження не накладає інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з одної точки простору у віддалену точку, вони можуть лише плавно «перетікати» через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані провода. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.

Звернемось до формул. В деякій точці (можна викривленого) простору-часу виберемо систему координат $Otxyz$, що є декартовою в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривини простору та координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:

$(26)P=\{t\in \{t_{(1)},t_{(2)}\},x\in \{x_{(1)},x_{(2)}\},y\in \{y_{(1)},y_{(2)}\},z\in \{z_{(1)},z_{(2)}\},\}$

і запишемо формулу Остроградського-Ґаусса для дивергенції тензора енергії-імпульсу в цьому паралелепіпеді:

$(27)\underset{P}{\int }{\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}d\tau ={\oint }_{\partial P}{T}_{ij}d{V}^j$

в цій формулі через $\partial P$ позначена тривимірна «поверхня» паралелепіпеда $P$, яка складається із восьми «граней», а інтегрування по цій поверхні враховує напрям вектора нормалі, який напрямлений назовні паралелепіпеда $P$.

Дві грані, які ми для наочності назвемо «дном» і «кришкою», є паралелепіпедами в тривимірному просторі $xyz$, взятими відповідно в момент часу $t_{(1)}$ і $t_{(2)}$. Тензор енергії-імпульсу якби втікає всередину паралелепіпеда через «дно» і витікає через «кришку». Різниця інтегралів по цих двох «гранях» має смисл зміни чотири-вектора енергії-імпульсу в об'ємі $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$ за час $\mathrm{\Delta }t$

$(28)\mathrm{\Delta }{p}_i=\underset{t_{(2)}}{\int }{T}_{i0}d{V}^0-\underset{t_{(2)}}{\int }{T}_{i0}d{V}^0$

Очевидно, ця зміна повинна потрапити в тривимірний об'єм $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$ через поверхню цього об'єму.

Розглянемо притік енергії через грань $x=x_{(1)}$ площею $\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$ за інтервал часу $\mathrm{\Delta }t$:

$(29)\mathrm{\Delta }E\approx S_x\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }t$

де $S_x$ — щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) по відповідній тривимірній «бічній» грані паралелепіпеда $P$:

$(30)\mathrm{\Delta }{p}_0=\frac{\mathrm{\Delta }E}{c}=\underset{x=x_{(1)}}{\int }{T}_{0j}d{V}^j\approx T_{01}\mathrm{\Delta }{V}^1=T_{01}\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }t$

Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульсу

$(31)T_{0i}=\frac{S_i}{c}$

так, щоб формули (29) і (30) відповідали одна одній. З формул (15) і (30) слідує симетрія частини компонент тензора енергії-імпульсу:

$(32)T_{0i}=T_{i0}$

Тепер розглянемо притік імпульсу через цю саму грань $x=x_{(1)}$ площею $\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$. Він складається з двох доданків: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:

$(33)\mathrm{\Delta }m=\rho v_x\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$

яка переносить із собою імпульс:

$(34)\mathrm{\Delta }{p}_i^{(1)}=\mathrm{\Delta }m{v}_i=\rho v_x{v}_i\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }t$

і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруження речовини (тиск):

$(35)\mathrm{\Delta }{p}_i^{(2)}=F_i\mathrm{\Delta }t={\sigma }_{i1}\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }t$

Сумарний потік імпульсу прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульсу:

$(36)\mathrm{\Delta }{p}_i=(\rho v_x{v}_i+{\sigma }_{i1})\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }t=T_{i1}d{V}^1$

Таким чином, ми уже визначили всі компоненти тензора енергії-імпульсу через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:

$(37)T_{ij}=\rho v_i{v}_j+{\sigma }_{ij}$

Із цієї прив'язки і локального закону збереження енергії-імпульсу слідує, що «поверхневий» інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. Оскільки паралелепіпед $P$ може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правої частини (27) слідує, що скрізь дивергенція тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю:

$(38){\mathrm{\nabla }}^j{T}_{ij}=0$

Локальний закон збереження моменту імпульсу

Із виразу для компонент тензора енергії-імпульсу ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Мінковського (або в настільки малій області викривленого простору, щоб кривину можна було не враховувати):

$(39)\mathrm{\Delta }{M}_{ij}=x_i\mathrm{\Delta }{p}_j-x_j\mathrm{\Delta }{p}_i=\underset{V}{\int }(x_i{T}_{j0}-x_j{T}_{i0})d{V}^0$

Просторові компоненти цього тензора, очевидно, дорівнюють проєкціям класичного вектора моменту імпульсу:

$(40)𝐌=𝐫\times 𝐩$

Покажемо, що якщо інтеграл в праві частині (39) поширити на всю «поверхню» чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті одержимо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:

$(41)\underset{\partial P}{\int }(x_i{T}_{jk}-x_j{T}_{ik})d{V}^k=\underset{P}{\int }{\mathrm{\nabla }}^k(x_i{T}_{jk}-x_j{T}_{ik})d\tau$

а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульсу:

$(42){\mathrm{\nabla }}^k(x_i{T}_{jk}-x_j{T}_{ik})={\delta }_i^k{T}_{jk}+x_i{\mathrm{\nabla }}^k{T}_{jk}-{\delta }_j^k{T}_{ik}-{\mathrm{\nabla }}^k{T}_{ik}={\delta }_i^k{T}_{jk}-{\delta }_j^k{T}_{ik}=T_{ji}-T_{ij}=0$

Рівність нулю «поверхневого» інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно до того, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульсу, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якійсь області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульсу через межу цієї області.

Джерела

• Шаблон:Cite book, 460 с.