Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

$(A^{*}{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$

Визначення також може бути записане так:

$A^{*}=(\bar{A}{)}^T=\overline{A^T}$

де

$A^T$ — транспонування,

$\bar{A}$ — заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Позначення

Ермітове спряження матриці A позначається:

• $A^{*}$ чи $A^H$ — в лінійній алгебрі,
• $A^{†}$ — в теоретичній фізиці,

Приклад

Якщо

$A=\left(\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right)$

тоді

$A^{*}=\left(\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\end{array}\right)$

Властивості

• $(A^{*}{)}^{*}=A$
• $(rA{)}^{*}=\bar{r}{A}^{*}$
• ${(A+B)}^{*}=A^{*}+B^{*}$
• ${(AB)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$
• $(A^{*}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{*}$
• $\det (A^{*})=(\det A{)}^{*}$
• $\mathrm{tr}(A^{*})=(\mathrm{tr}A{)}^{*}$
• визначник, слід та власні значення $A^{*}$ комплексно-спряжені до відповідних значень $A$.
• Для довільної матриці $A,$ матриці $A{A}^{*}$ та $A^{*}A$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.

Походження

Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.

Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:

$a+ib\equiv \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$,

то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати однаковий результат.

Див. також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць