Рівняння Томаса — Фермі

Рівняння Томаса — Фермі — рівняння, що наближено описує розподіл електричного поля й густини електронів у важких атомах. Запропоноване в 1927 році незалежно Л. Г. Томасом і Енріко Фермі

Припущення локальної густини електронів

Рівняння виводиться, виходячи з припущення, що багатоелектронну систему важких атомів можна описати за допомогою електронної густини, яка залежить від потенціалу електричного поля в даній точці й задається формулою

$n(𝐫)=\frac{2me(\phi -A{)}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$,

де m — маса електрона, е — елементарний заряд, $\phi$ — потенціал, $\hslash$ — зведена стала Планка, а величина A визначається таким чином, щоб -eA давало повну енергію. Для нейтрального атома A = 0, для йона

$A=\frac{e(Z-N)}{R}$,

де Z — зарядове число ядра атома, N — кількість електронів у йоні, R — радіус йона.

Рівняння Томаса — Фермі виводиться, виходячи з рівняння Пуасона де густина заряду дорівнює $-en(𝐫)$:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)(\phi -A)=\frac{4e(2me(\phi -A){)}^{3/2}}{3\pi {\hslash }^3}$

У безрозмірній формі рівняння зводиться до універсального

$\sqrt{x}\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{x}^2}={\mathrm{\Phi }}^{3/2}$

Це рівняння розв'язується з граничними умовами

$\mathrm{\Phi }(x_0)=\mathrm{\Phi }(0)=1$

$x_0{\frac{d\mathrm{\Phi }}{dx}|}_{x=x_0}=-\frac{Z-N}{N}$

де $x_0$ — радіус атома в безрозмірних одиницях.

Характеристики розв'язку

Розв'язок рівняння Томаса — Фермі дає однаковий розподіл електронної густини для всіх важких атомів. Від атома до атома змінюється лише радіус. Електронна густина різко зростає від центру, а потім, досягши максимуму, спадає до краю.

Недоліки

Рівняння Томаса — Фермі неспроможне описати електронні оболонки атомів. Електронна густина спадає на великих віддалях від ядра повільно. Рівняння Томаса — Фермі не може пояснити також природу хімічних зв'язків. Однак, запропонований метод лежить в основі теорії функціоналу електронної густини, який широко й успішно застосовується в сучасній квантовій хімії.

Джерела

• Шаблон:Книга