Інтерполяція випадкового процесу

Інтерполя́ція випадко́вого проце́су — одна із задач прогнозу теорії випадкових процесів. Лінійна інтерполяція випадкового процесу полягає в побудові оцінки $\xi (t)$ значення процесу $\overline{\xi }(t)$ у момент часу $\tau (0<\tau <T)$, яка лінійно виражається через спостереження $\xi (t)$ при $t\le 0$ і $t\ge T$. При цьому звичайно шукають оцінки $\tilde{\xi }(t)$, для яких квадрат середньоквадратичної похибки ${\sigma }^2(t)=M{|\xi (t)-\tilde{\xi }(t)|}^2$ є мінімальним. Явні формули для вирішення задачі інтерполяції випадкового процесу отримані для стаціонарних випадкових процесів з дробово-раціональною спектральною густиною. Наприклад, якщо спектральна густина процесу $\xi (t)$ дорівнює $f(\lambda )=\frac{c}{{\lambda }^2+{\alpha }^2}$ то $\tilde{\xi }(t)=\frac{1}{sh\alpha T}(\xi (0)sh\alpha (T-\tau )+\xi (T)sh\alpha \tau )$.

Вперше задачу лінійної інтерполяції випадкового процесу для стаціонарної послідовності ${\xi }_n$ спектральною густиною $f(\lambda )$, що спостерігається при всіх $n$, окрім $n=0$, розглянув радянський математик О. М. Колмогоров. Виявилося, що квадрат середньоквадратичної похибки інтерполяції ${\xi }_0$ дорівнює

${\sigma }^2=2\pi {\left[\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\lambda }{f(\lambda )}\right]}^{-1}$.

Інтерполяція практично безпомилкова, якщо

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\lambda }{f(\lambda )}=+\mathrm{\infty }$.

Література

• Шаблон:ЕК стаття М. І. Ядренко