Лінійно незалежні вектори

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення

Якщо $V$ векторний простір над полем $K$ і множина векторів $M \subseteq V$ .

$M$ називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
Скінченна множина $M^{'} = {𝐯_{1}, 𝐯_{2}, \dots, 𝐯_{n}}$ називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:

\forall a_{1}, \dots, a_{n} \in K : a_{1} 𝐯_{1} + a_{2} 𝐯_{2} + \dots + a_{n} 𝐯_{n} = 0 ⟺ a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0 .

Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним $a_{i} \neq 0$ , то $M^{'}$ називається лінійно залежною.

Властивості

Якщо $0 \in M$ , то $M$ є лінійно залежна.
Якщо $M$ лінійно незалежна, то $M^{'}$ лінійно незалежна для всіх $M^{'} \subseteq M$ .
Якщо $M$ лінійно залежна, то $M^{'}$ лінійно залежна для всіх $M^{'} \supseteq M$ .

Застосування

Система лінійних алгебраїчних рівнянь має однозначний розв'язок тоді і тільки тоді, коли стовпці її матриці є лінійно незалежними.

Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.

Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.

Геометричний зміст:
- Вектори $\vec{a}, \vec{b}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
- Вектори $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Джерела

Шаблон:Лінійна алгебра

Лінійно незалежні вектори

Зміст

Визначення

Властивості

Застосування

Джерела

Навігаційне меню

Лінійно незалежні вектори

Визначення

Властивості

Застосування

Джерела

Навігаційне меню

Пошук