Теорема Коші про середнє значення

Теорема, що належить французькому математикові Огюстену Коші й називається узагальненою теоремою про скінченні прирости. Вона узагальнює теорему Лагранжа.

Формулювання теореми

Якщо кожна з двох функцій $f(x)$ та $g(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжку і якщо, окрім того, похідна $g^{\prime }(x)$ відмінна від нуля скрізь у проміжку $[a,b]$, то на цьому проміжку знайдеться точка $c$ така, що має місце формула:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}(1)$.

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

Доведення

Перш за все покажемо, що $g(a)\ne g(b)$. І справді, якщо б це було не так, то для функції $g(x)$ на проміжку $[a,b]$ були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку $[a,b]$ знайшлася б точка $\xi$ така, що $g^{\prime }(\xi )=0$. Останнє суперечить умові теореми. Отже, $g(a)\ne g(b)$, і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)](2)$

В силу умов, які накладено на функції $f(x)$ та $g(x)$, функція $F(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ та знайдеться точка $c$ така, що

$F^{\prime }(c)=0.(3)$

Маючи на увазі те, що

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(x)$,

і використовуючи рівність (3) отримаємо:

$f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(c)=0.(4)$

Враховуючи, що $g^{\prime }(c)\ne 0$ з рівності (4) отримуємо формулу Коші:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Теорему доведено.

Зауваження

Формула Лагранжа є частковим випадком формули Коші (1), коли $g(x)=x$.

У формулі (1) зовсім не обов'язково вважати, що $b>a$

Прості застосування

Нехай f є неперервна функція на дійсніх числах яка визначена на випадковому інтервалі l. Якщо похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l їснує і дорівнює нулю, f є постійна.

Доведення: візьмем на себе, що похідна функції f у кожної внутрішнії точки інтервалу l існує і дорівнює нулю. Нехай (a,b) є випадковій інтервал в l. Згідно з теоремой про середнє значення існує точка с в (a,b) така що:

$$0=f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$Це означає, що f(a)=f(b). Так f є постійна в кожної точки інтервалу l, навіть якщо l є нескінченний.

Геометрична інтрепретація теореми

Геометричне значення теореми Коші

F(t) є функція ℝ→ℝ×ℝ: F(t)=(f(t),g(t), t∈[a;b]. Існує деяка дотична до цієй функції така, що вона паралельна до прямої [(f(a);g(a)), (f(b);g(b))]

Узагальнення щодо визначнику

Якщо f(x), g(x) і h(x) є диференційовна функція на (a,b), яка їснує на [a,b], тоді визначимо

$D(x)=\left|\begin{array}{ccc}f(x)& g(x)& h(x)\\ f(a)& g(a)& h(a)\\ f(b)& g(b)& h(b)\end{array}\right|$

Тоді їснує таке с ∈ (a,b), що D'(c)=0.

Зауважимо, що $D^{\prime }(x)=\left|\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)& h^{\prime }(x)\\ f(a)& g(a)& h(a)\\ f(b)& g(b)& h(b)\end{array}\right|$

І якщо ми замінимо h(x)=1, це буде еквівалентно звичайній теоремі.

Доведення: функції D(a) і D(b) є визначникі матриць, які мають два однакових рядка, тому D(a)=D(b)=0. Згідно з теоремою Ролля їснує таке с∈ (a,b), що D'(c)=0

Див. також

• Теорема Лагранжа
• Теорема Ролля
• Огюстен Луї Коші

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.