Потенціал Ліенара — Віхерта

Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією. Названі на честь Альфред-Марі Ліенара та Еміля Віхерта.

При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу $t^{\prime }$. $t-t^{\prime }$ — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.

$t-t^{\prime }=\frac{R(t^{\prime })}{c}$,

де $R(t^{\prime })$ — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу $t^{\prime }$, c — швидкість світла в порожнечі.

Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами

$\phi =\frac{q}{R-\frac{𝐯\cdot 𝐑}{c}},𝐀=\frac{q𝐯}{c(R-\frac{𝐯\cdot 𝐑}{c})},$

де $\phi$ — потенціал електричного поля, $𝐀$ — векторний потенціал, $𝐯$ — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу $t^{\prime }$.

Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.

Отримання виразів для потенціалів

Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать. Інтегральні вирази для потенціалів (розв'язки рівняння д'Аламбера) враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

$\phi =\frac{Q}{R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c}},𝐀=\frac{Q𝐯}{c(R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c})}(.1)$,

де $𝐑=𝐑(T)=𝐱-{𝐱}_0(T),T:t-\tau -\frac{|𝐑(\tau )|}{c}=0$. Шаблон:Hider Отримані вирази для потенціалів можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля у випадку заряду, що довільно рухається.

Напруженості полів

Для напруженості електричного поля $𝐄$ й вектора магнітної індукції $𝐁$ потенціали Ліенара-Віхерта дають

$E=q\frac{1-v^2/c^2}{{(R-\frac{𝐯\cdot 𝐑}{c})}^3}(𝐑-\frac{𝐯}{c}R)+\frac{q}{c^2{(R-\frac{𝐯\cdot 𝐑}{c})}^3}[𝐑,[𝐑-\frac{𝐯}{c}R,\dot{𝐯}]]$

$𝐁=\frac{1}{R}[𝐑,𝐄]$

Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й магнітне поле завжди перпендикулярні одне до іншого.

Отримання виразів для полів

Для подальших викладок знадобиться вираз

$\gamma (R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c})=\sqrt{X^2+\frac{{\gamma }^2}{c^2}(𝐗\cdot 𝐯{)}^2}(.2)$. Шаблон:Hider Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. Як відомо, вираз для напруженості електричного поля через компоненти 4-потенціалу рівний

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t}(.3)$.

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних $t,𝐱$ до змінної $T$, оскільки самі потенціали (а точніше - $𝐯,𝐑$) залежать від $T$:

$\frac{\partial t}{\partial T}=\frac{R}{R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c}},\frac{\partial T}{\partial 𝐱}=-\frac{𝐑}{c(R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c})}(.4)$. Шаблон:Hider Тоді для напруженості поля $𝐄$ можна отримати

$𝐄=\frac{Q(𝐑-\frac{𝐯}{c}R)(1-\frac{v^2}{c^2})}{{(R-\frac{(𝐑\cdot 𝐯)}{c})}^3}+\frac{Q}{c^2}\frac{[𝐑\times [(𝐑-\frac{𝐯}{c}R)\times 𝐚]]}{{(R-\frac{(𝐑\cdot 𝐯)}{c})}^3}$,

або, з урахуванням виразу $(.2)$ і введеного вектора $𝐗=𝐑-\frac{𝐯}{c}R$,

$𝐄=\frac{Q\gamma 𝐗}{{(X^2+\frac{{\gamma }^2}{c^2}(𝐯\cdot 𝐗{)}^2)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{Q}{c^2}\frac{{\gamma }^3[𝐑\times [𝐗\times 𝐚]]}{{(X^2+\frac{{\gamma }^2}{c^2}(𝐯\cdot 𝐗{)}^2)}^{\frac{3}{2}}}$. Шаблон:Hider Вираз для індукції поля можна отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що, можливо (!), значно спростить викладки.

При введенні фіктивного інтегрування по змінній $\tau$ (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд

$𝐀(𝐑,T)=\frac{1}{c}\int \frac{Q𝐯(\tau )\delta (t-\tau -\frac{|𝐱-{𝐱}_0(\tau )|}{c})d\tau }{|𝐳-{𝐱}_0(\tau )|}$.

Тоді для $𝐁=[\mathrm{\nabla }\times 𝐀]$ можна отримати

$𝐁=Q\frac{[𝐑\times (\frac{𝐑}{R}-\frac{𝐯}{c})](1-\frac{v^2}{c^2})}{{(R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c})}^3}+\frac{Q}{c^2}\frac{[𝐑\times [𝐑\times [(\frac{𝐑}{R}-\frac{𝐯}{c})\times 𝐚]]]}{{(R-\frac{(𝐯\cdot 𝐑)}{c})}^3}=[\frac{𝐑}{R}\times 𝐄]$,

або, з урахуванням виразу $(.2)$,

$𝐁=Q\gamma \frac{[\frac{𝐑}{R}\times 𝐗]}{{(X^2+\frac{{\gamma }^2}{c^2}(𝐯\cdot 𝐗{)}^2)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{Q{\gamma }^3}{c^2}\frac{[\frac{𝐑}{R}\times [𝐑\times [𝐗\times 𝐚]]]}{{(X^2+\frac{{\gamma }^2}{c^2}(𝐯\cdot 𝐗{)}^2)}^{\frac{3}{2}}}$. Шаблон:Hider

Джерела

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-ru

Примітки

Шаблон:Physics-stub