П'єзооптичний ефект

Фотопружність, фотоеластичний ефект, п'єзоопти́чний ефе́кт — виникнення оптичної анізотропії в спочатку ізотропних твердих тілах (в тому числі полімерах) під дією механічних напружень.

Загальна характеристика

Оскільки, механічне напруження та деформація є зв'язаними через тензор пружних податливостей або пружних жорсткостей, то ефект, який полягає у зміні показників заломлення (фазових швидкостей електромагнітних хвиль) або двозаломлення середовища під дією механічної деформації називається фотопружним ефектом.

П'єзооптичний ефект здебільшого прийнято розглядати, як такий, що притаманний твердим тілам, однак в рідинах та газах даний ефект існує при дії на середовище гідростатичного тиску. При цьому роль дії відіграє гідростатичний тиск, який визначається кульовою частиною тензора механічних напружень.

П'єзооптичний ефект був відкритий у 1818 році Девідом Брюстером спочатку в ізотропних тілах, а потім в кристалах.

Тензорний опис

Тензор оптичних поляризаційних констант

$B_{ij}=\frac{1}{{ϵ}_{ij}}={\left(\frac{1}{n^2}\right)}_{ij}$  (1), за наявності прикладеного механічного напруження ${\sigma }_{kl}$ матиме вигляд

$B_{ij}=B_{ij}^0+\mathrm{\Delta }{B}_{ij}=B_{ij}^0+{\pi }_{ijkl}{\sigma }_{kl}$,  (2)

де ${ϵ}_{ij}$ діелектрична проникливість на оптичній частоті, $n$ — показник заломлення. Механічне напруження описується полярним, симетричним тензором другого рангу з внутрішньою симетрією — $[V^2]$, тобто ${\sigma }_{kl}={\sigma }_{lk}$. Тензор п'єзооптичних коефіцієнтів є полярним тензором четвертого рангу
, симетричним за перестановкою індексів у першій і другій парах — ${\pi }_{ijkl}={\pi }_{jikl}={\pi }_{ijlk}={\pi }_{jilk}$ (внутрішня симетрія — $[V^2{]}^2$). Оскільки механічне напруження і деформація $e_{mn}$пов'язані законом Гука:

$e_{mn}=S_{mnkl}{\sigma }_{kl}$,  (3)

або

${\sigma }_{kl}=C_{klmn}{e}_{mn}$, ( 4)

де $C_{klmn}$ — тензор пружних жорсткостей (пружних модулів), а $S_{mnkl}$ — тензор пружних податливостей. Дані тензори є взаємнооберненими ($C_{\lambda \mu }{S}_{\mu \nu }={\delta }_{\lambda \nu }$, ${\delta }_{\lambda \nu }$ — символ Кронекера) полярними тензорами четвертого рангу з внутрішньою симетрією $[[V^2{]}^2]$, тобто $C_{klmn}=C_{mnkl}=C_{lkmn}=C_{lknm}=C_{lknm}$ (такі ж перестановки індексів справедиві і для тензора $S_{mnkl}$). Тому зв'язок між тензорами п'єзооптичних і фотопружних коефіцієнтів задається співвідношенням:

$p_{\lambda \mu }={\pi }_{\lambda \nu }{C}_{\lambda \mu }$,  (5)

або

${\pi }_{\lambda \mu }=p_{\lambda \nu }{S}_{\nu \mu }$,  (6)

У цьому випадку використано матричне представлення тензорів з заміною індексів:

$(mn\leftrightarrow \lambda =1,...6)$,  (7)

$(kl\leftrightarrow \mu =1,...6)$.  (8)

Тензор оптичних поляризаційних констант при фотопружному ефекті запишеться, як:

$B_{ij}=B_{ij}^0+\mathrm{\Delta }{B}_{ij}=B_{ij}^0+p_{ijmn}{e}_{mn}$,  (9)

Тензори фотопружних і п'єзооптичних коефіцієнтів відмінні від нуля для середовищ будь-якої симетрії.

Зміна показників заломлення і двозаломлення

Рівняння оптичної індикатриси (характеристичної поверхні тензора поляризаційних констант) в загальному випадку має вигляд:

$B_{ij}{x}_i{x}_j=1$,  (10)

де $x_i{x}_j=x,y,z$ — базисні вектори Декартової системи координат. Дане рівняння можна представити, як

$B_{11}{x}^2+B_{22}{y}^2+B_{33}{z}^2+2B_{32}zy+2B_{31}xz+2B_{12}xy=1$,  (11)

При прикладанні механічного напруження до тіла (наприклад до ізотропного скла) оптичні поляризаційні константи залежатимуть від механічного напруження. Наприклад під дією механічного напруження ${\sigma }_{11}$ (тиск або розтяг, спрямовані вздовж осі $x$) рівняння оптичної індикатриси ізотропного скла за відсутності механічного напруження має вигляд:

$B_{11}^0{x}^2+B_{11}^0{y}^2+B_{11}^0{z}^2=1$,  (12)
.

Тензор пєзооптичних коефіцієнтів для ізотропних середовищ має вигляд:

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{B}_{11}\\ \mathrm{\Delta }{B}_{22}\\ \mathrm{\Delta }{B}_{33}\\ \mathrm{\Delta }{B}_{32}\\ \mathrm{\Delta }{B}_{31}\\ \mathrm{\Delta }{B}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\pi }_{11}& {\pi }_{12}& {\pi }_{12}& 0& 0& 0\\ {\pi }_{12}& {\pi }_{11}& {\pi }_{12}& 0& 0& 0\\ {\pi }_{12}& {\pi }_{12}& {\pi }_{11}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\pi }_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\pi }_{44}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {\pi }_{44}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cccccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{33}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{31}& {\sigma }_{21}\end{array}\right]$,  (13)

причому — ${\pi }_{44}={\pi }_{11}-{\pi }_{12}$

При прикладеному напруженні ${\sigma }_{11}$ рівняння (12)зміниться:

$(B_{11}^0+{\pi }_{11}{\sigma }_{11})x^2+(B_{11}^0+{\pi }_{11}{\sigma }_{11})y^2+(B_{11}^0+{\pi }_{12}{\sigma }_{11})z^2=1$,  (14)
.

Як видно з останнього рівняння тензор оптичних поляризаційних констант під дією механічного напруження набув вигляду, властивого для оптично анізотропних середовищ. Оскільки, $B_{11}=B_{22}\ne B_{33}$, то первинно оптично ізотропне скло стало оптично одновісним і анізотропним.
Тоді, змінені механічним напруженням показники заломлення набудуть вигляду:

$n_x=n_0+\frac{1}{2}{n}_0^3{\pi }_{11}{\sigma }_{11}$,  (15)
$n_y=n_0+\frac{1}{2}{n}_0^3{\pi }_{12}{\sigma }_{11}$,  (16)
$n_z=n_0+\frac{1}{2}{n}_0^3{\pi }_{12}{\sigma }_{11}$.  (17)

При поширенні сітла вздовж напрямку, перпендикулярного до напрямку прикладеного напруження спостерігатиметься двозаломлення індуковане механічним напруженням, яке визначатиметься співвідношенням:

$\mathrm{\Delta }{n}_{xy}=n_x-n_y=\frac{1}{2}{n}_0^3({\pi }_{11}-{\pi }_{12}){\sigma }_{11}$,  (18)

а різниця фаз між двома хвилями, які поширюються у склі матиме вигляд:

$\mathrm{\Gamma }=\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }{n}_{xy}d=\frac{\pi d}{\lambda }{n}_0^3({\pi }_{11}-{\pi }_{12}){\sigma }_{11}$  (19)

Застосування

П'єзооптичний і фотопружний ефекти використовуються в неруйнівному контролі механічних напружень прозорих оптичних елементів, деталей та конструкцій; при вимірюванні механічного напруження чи тиску безконтакним методом; в акустооптиці та ін. Фотопружний ефект лежить в основі таких явищ, як акустооптична дифракця світла, і розсіяння Мандельштама-Бріллюена.

Див. також

• Електрооптичний ефект
• Ефект Коттона-Мутона
• Акустооптична дифракція

Посилання

• Акустооптичний ефект // ВУЕ