Формула Ньютона — Ляйбніца

Шаблон:Calculus Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтеграла є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція $f(x)$ неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна $F(x)$, тоді визначений інтеграл від функції $f(x)$ можна обчислити за формулою:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(x){|}_a^b$

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження

Існує дві частини теореми. Перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку Шаблон:Nowrap і

$F^{\prime }(x)=f(x)$

для всіх x з (a, b).

Наслідок

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтеграла функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на Шаблон:Nowrap і F її первісна f у Шаблон:Nowrap тоді

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a).$

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина

Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення або формула Ньютона — Лейбніца (Шаблон:Lang-en).

Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з Шаблон:Nowrap

$F^{\prime }(x)=f(x).$

Якщо f є інтегровною за Ріманом на Шаблон:Nowrap тоді

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Для двох довільних чисел x₁ і x₁ + Δx з [a, b], маємо

$F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt$

і

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt.$

Відніманням отримуємо

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt.(1)$

Можна показати, що

$\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt+\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt.$

(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

$\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)dt=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt.$

Підставляємо попереднє в (1), що дає

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt.(2)$

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число $c(\mathrm{\Delta }x)$ з [x₁, x₁ + Δx] таке, що

$\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt=f(c(\mathrm{\Delta }x))\mathrm{\Delta }x.$

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість $c(\mathrm{\Delta }x),$ але читач має усвідомлювати, що c залежить від $\mathrm{\Delta }x$. Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=f(c)\mathrm{\Delta }x.$

Ділення на Δx дає

$\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=f(c).$

Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x₁.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c).$

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x₁.

$F^{\prime }(x_1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c).(3)$

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x₁, x₁ + Δx], отже x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Також, $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1=x_1$ and $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1+\mathrm{\Delta }x=x_1.$

Тому, відповідно до стискної теореми,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }c=x_1.$

Підставляємо в (3) і отримуємо

$F^{\prime }(x_1)=\underset{c\to x_1}{\lim }f(c).$

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

$F^{\prime }(x_1)=f(x_1).$

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 Шаблон:Webarchive)

Доведення наслідку

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на Шаблон:Nowrap Нехай

$G(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що Шаблон:Nowrap, для всіх x з Шаблон:Nowrap Поклавши Шаблон:Nowrap, маємо

$F(a)+c=G(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)dt=0,$

що значить Шаблон:Nowrap Інакше кажучи Шаблон:Nowrap, і отже

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=G(b)=F(b)-F(a).$

Доведення другої частини

Доведення через суми Рімана.

Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку Шаблон:Nowrap і нехай f має первісну F на Шаблон:Nowrap Почнемо з величини Шаблон:Nowrap. Нехай існують числа x₁, …, x_n такі, що

$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b.$

З цього слідує

$F(b)-F(a)=F(x_n)-F(x_0).$

Тепер додамо кожне F(x_i) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

$\begin{array}{cc}F(b)-F(a)& =F(x_n)+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_1)+F(x_1)]-F(x_0)\\ & =[F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})+\cdots -F(x_1)]+[F(x_1)-F(x_0)].\end{array}$

Попереднє можна записати як таку суму:

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})].(1)$

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

$F^{\prime }(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.$

З цього випливає, що

$F^{\prime }(c)(b-a)=F(b)-F(a).$

Функція F диференційовна на Шаблон:Nowrap отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків Шаблон:Nowrap. Згідно з теоремою Лагранжа,

$F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }(c_i)(x_i-x_{i-1}).$

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[F^{\prime }(c_i)(x_i-x_{i-1})].$

Припущення означає $F^{\prime }(c_i)=f(c_i).$ Також, $x_i-x_{i-1}$ може бути виражено як $\mathrm{\Delta }x$ відтинку $i$.

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)].(2)$

Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтеграла функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також $\mathrm{\Delta }{x}_i$ не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтеграла кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше $\mathrm{\Delta }x$, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтеграла Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

$\underset{\Vert \mathrm{\Delta }{x}_i\Vert \to 0}{\lim }F(b)-F(a)=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }{x}_i\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)].$

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від $||\mathrm{\Delta }{x}_i\Vert$, тому границя зліва залишається Шаблон:Nowrap

$F(b)-F(a)=\underset{\Vert \mathrm{\Delta }{x}_i\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[f(c_i)(\mathrm{\Delta }{x}_i)].$

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

$F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, $G(x)-G(a)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$. Тепер, припустимо $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=G(x)-G(a)$. Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси Шаблон:Nowrap. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми. Наприклад, якщо Шаблон:Nowrap тоді f має первісну, а саме

$G(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади

Задля прикладу обчислимо таке:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx.$

Тут, $f(x)=x^2$ і ми можемо використати $F(x)=\frac{x^3}{3}$ як первісну. Звідси

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx=F(5)-F(2)=\frac{5^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39.$

Або, загальніше, обчислимо

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt$

Тут, $f(t)=t^3$ і можна використати $F(t)=\frac{t^4}{4}$ як первісну. Отже

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=\frac{d}{dx}F(x)-\frac{d}{dx}F(0)=\frac{d}{dx}\frac{x^4}{4}=x^3.$

Або, тотожно,

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=f(x)\frac{dx}{dx}-f(0)\frac{d0}{dx}=x^3.$

Див. також

• Інтегральне числення

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Citation. Шаблон:Ref-en