Нотація Фогта

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

Позначення

Якщо тензор 4-ранга $c_{ijkl}$ є симетричним за першою і другою парою індексів

$c_{ijkl}=c_{jikl}$,

$c_{ijkl}=c_{ijlk}$,

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

$11\to 1$

$22\to 2$

$33\to 3$

$23,32\to 4$

$13,31\to 5$

$12,21\to 6$.

Наприклад, компонента $c_{3122}$ буде відповідати елементу матриці $C_{52}$.

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

${\epsilon }_i={\epsilon }_{ii},{\sigma }_i={\sigma }_{ii}$

для i = 1,2,3.

${\epsilon }_4={\epsilon }_{23}+{\epsilon }_{32},{\sigma }_4={\sigma }_{23}+{\sigma }_{32}$,

${\epsilon }_5={\epsilon }_{13}+{\epsilon }_{31},{\sigma }_5={\sigma }_{13}+{\sigma }_{31}$,

${\epsilon }_6={\epsilon }_{12}+{\epsilon }_{21},{\sigma }_6={\sigma }_{12}+{\sigma }_{21}$.

Матричний запис закону Гука

Шаблон:Main Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ {\sigma }_3\\ {\sigma }_4\\ {\sigma }_5\\ {\sigma }_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& c_{16}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}& c_{24}& c_{25}& c_{26}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}& c_{34}& c_{35}& c_{36}\\ c_{41}& c_{42}& c_{43}& c_{44}& c_{45}& c_{46}\\ c_{51}& c_{52}& c_{53}& c_{54}& c_{55}& c_{56}\\ c_{61}& c_{62}& c_{63}& c_{64}& c_{65}& c_{66}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\\ {\epsilon }_4\\ {\epsilon }_5\\ {\epsilon }_6\end{array}\right)$

Матриця жорсткості симетрична

$c_{ik}=c_{k1}$,

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& c_{16}\\ & c_{22}& c_{23}& c_{24}& c_{25}& c_{26}\\ & & c_{33}& c_{34}& c_{35}& c_{36}\\ & & & c_{44}& c_{45}& c_{46}\\ & & & & c_{55}& c_{56}\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right)$

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингоній

Триклінна сингонія

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингонія

Тринадцять незалежних пружніх сталих

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& 0& c_{15}& 0\\ & c_{22}& c_{23}& 0& c_{25}& 0\\ & & c_{33}& 0& c_{35}& 0\\ & & & c_{44}& 0& c_{46}\\ & & & & c_{55}& 0\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right)$

Ромбічна сингонія

9 незалежних елементів

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& 0& 0& 0\\ & c_{22}& c_{23}& 0& 0& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{55}& 0\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right)$

Тетрагональна сингонія

Кристалічні класи 4, $\overline{4}$, 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& c_{16}\\ & c_{11}& c_{13}& 0& 0& -c_{16}\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{55}& 0\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right)$

Кристалічні класи 422, 4mm, $\overline{4}$2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& 0\\ & c_{11}& c_{13}& 0& 0& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{55}& 0\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right)$

Тригональна сингонія

Кристалічні класи $\overline{3}$ і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& -c_{15}& 0\\ & c_{11}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& c_{15}\\ & & & & c_{55}& c_{14}\\ & & & & & (c_{11}-c_{12})/2\end{array}\right)$

Кристалічні класи 32б 3m та $\overline{3}$m характеризуються 6-ма незалежними модулями

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& 0& 0\\ & c_{11}& c_{13}& -c_{14}& 0& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{55}& c_{14}\\ & & & & & (c_{11}-c_{12})/2\end{array}\right)$

Гексагональна сингонія

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& 0& 0& 0\\ & c_{11}& c_{13}& 0& 0& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{44}& 0\\ & & & & & (c_{11}-c_{12})/2\end{array}\right)$

Кубічна сингонія

Три незалежних модулі пружності

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & c_{11}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & & c_{11}& 0& 0& 0\\ & & & c_{44}& 0& 0\\ & & & & c_{44}& 0\\ & & & & & c_{44}\end{array}\right)$

Ізотропне середовище

Два незалежних модулі пружності

$\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & c_{11}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & & c_{11}& 0& 0& 0\\ & & & (c_{11}-c_{12})/2& 0& 0\\ & & & & (c_{11}-c_{12})/2& 0\\ & & & & & (c_{11}-c_{12})/2\end{array}\right)$

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга