Статистична сума

Статисти́чна су́ма — функція параметрів статистичного ансамблю, яка несе в собі повну інформацію про термодинамічну систему.

Позначається здебільшого літерою Z і є безрозмірною величиною.

Визначення

Квантова статистика

Якщо фізична система, яка складається з N часток, характеризується набором мікроскопічних станів ${| n ⟩}$ з енергіями $E_{n}$ , то статистична сума визначається формулою

Z (N, V, T) = \sum_{n} e^{- E_{n} / k_{B} T}

.

де T — температура, k_B — стала Больцмана, V — об'єм.

Статистична сума залежить від температури, об'єму, числа часток і, в загальному випадку інших екстенсивних параметрів фізичної системи, наприклад, напруженості електричного поля, якщо система знаходиться у зовнішньому полі.

Класична статистика

У класичній механіці мікроскопічний стан системи задається неперервними величинами — координатами $q_{i}$ та імпульсами $p_{i}$ часток. У цьому випадку підсумовування заміняється інтегралом. Безрозмірність статистичної суми досягається діленням на $2 π ℏ$ для кожного ступеня вільності.

Z = \frac{1}{N!} \frac{1}{(2 π ℏ)^{s}} \int e^{- H (q_{i}, p_{i}) / k_{B} T} d q_{i} d p_{i}

,

де s — число ступенів вільності, $H (q_{i}, p_{i})$ — функція Гамільтона, тобто енергія системи, виражена через узагальнені координати. Інтегрування проводиться по всьому фазовому просторі.

Множник $1 / N!$ з'являється завдяки принципу нерозрізнюваності часток, дозволяючи уникнути парадоксу Гібса.

Вільна енергія Гельмгольца

Вільна енергія Гельмгольца визначається через статистичну суму за формулою

F (N, V, T) = - k_{B} T ln Z

.

Оскільки всі параметри термодинамічної системи можна визначити через похідні від вільної енергії, то знання статистичної суми повністю визначає термодинамічний стан.

Ймовірність реалізації мікроскопічного стану $| n ⟩$ задається розподілом Гібса

w_{n} = \frac{1}{Z} e^{- E_{n} / k_{B} T}

.