Розподіл Максвелла — Больцмана

Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Загальний опис

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією ${\epsilon }_k$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

$p_k=n_k/N=e^{(\mu -{\epsilon }_k)/k_{B}T}=A{e}^{(-{\epsilon }_k)/k_{B}T}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана, N — число частинок.

$A=e^{(\mu )/k_{B}T}$ — параметр виродження.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

$\sum _k{n}_k=N.$.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли $p_k\ll 1$. Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку $(𝐩,𝐩+d𝐩)$ визначається формулою:

$d{n}_{𝐩}=\frac{N}{V(2\pi m{k}_{B}T{)}^{3/2}}{e}^{-p^2/2m{k}_{B}T}d{p}_{x}d{p}_{y}d{p}_z$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

$d{n}_{𝐯}=\frac{N}{V}{\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{e}^{-m{v}^2/2k_{B}T}d{v}_{x}d{v}_{y}d{v}_z$.

Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом $U(𝐫)$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

$n(𝐫)=n_0{e}^{-U(𝐫)/k_{B}T}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

$n(z)=n_0{e}^{-mgz/k_{B}T}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також

• Дослід Ламмерта
• Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями
• Статистика Бозе — Ейнштейна
• Статистика Фермі — Дірака

Джерела

• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Книга