Обмінна матриця

Обмінна матриця (Шаблон:Lang-en) — бінарна матриця, у якої на антидіагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи нулі. Є матрицею перестановки.

За допомогою символа Кронекера можно записати це означення так: $J_{ij}={\delta }_{n+1-i,j}$.

Ця матриця є найпростішим прикладом: антидіагональної матриці, інволютивної матриці та матриці перестановки.

$J_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),J_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\dots J_n=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& {}_{{}_{\cdot }}{}^{{}_{{}_{\cdot }}}\dot{\phantom{j}}& ⋮& ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$

Властивості

• $\det J=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
• $\mathrm{t}\mathrm{r}J=nmod2$ (1 для непарних $n$; 0 для парних $n$);
• $J^T=J$;
• $J^2=I$ та $J^{-1}=J$, тобто $J$ — інволютивна матриця;

Множення

Для прямокутної матриці $A_{i,j}$ розміру, який дозволяє множення з $J$:

• $(JA{)}_{i,j}=A_{n+1-i,j}$ — обмін рядків симетрично верх-низ.
• $(AJ{)}_{i,j}=A_{i,n+1-j}$ — обмін стовпців симетрично ліво-право.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць