Формула тринома

Формула тринома — в математиці, формула натурального степеня для суми трьох одночленів.

(a + b + c)^{n} = \sum_{\binom{i, j, k}{i + j + k = n}} (\binom{n}{i, j, k}) a^{i} b^{j} c^{k},

сума береться по всіх комбінаціях невід'ємних Шаблон:Math таких, що Шаблон:Math.^[1] Триноміальні коефіцієнти дорівнюють:

(\binom{n}{i, j, k}) = \frac{n!}{i! j! k!} .

Формула є частковим випадком формули мультинома для Шаблон:Math = 3. Коефіцієнти можна рахувати із узагальнення трикутника Паскаля — піраміди Паскаля.^[2]

Рекурсія

Коефіцієнти можна порахувати, застосувавши біном Ньютона двічі, після заміни $d = b + c$ , порахуємо біноміальні коефіцієнти

\begin{matrix} (a + b + c)^{n} & = (a + d)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} d^{r} \\ = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} (b + c)^{r} \\ = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} \sum_{s = 0}^{r} (\binom{r}{s}) b^{r - s} c^{s} . \end{matrix}

На наступному розгорнемо порахуємо $(b + c)^{r}$ .

Спростимо запис для добутку біноміальних коефіцієнтів:

(\binom{n}{r}) (\binom{r}{s}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} \frac{r!}{s! (r - s)!} = \frac{n!}{(n - r)! (r - s)! s!},

і перейменуємо $i = n - r, j = r - s, k = s$ .

Число доданків буде трикутним числом

t_{n + 1} = \frac{(n + 2) (n + 1)}{2},