Формула перерізу

У аналітичній геометрії формула перерізу — це формула, яка використовується для знаходження співвідношення, в якому відрізок лінії ділиться точкою зсередини або зовні. Вона використовується для визначення геометричного центру, центру вписаного кола і ексцентрів трикутника. У фізиці вона використовується для знаходження центру мас систем, точок рівноваги тощо

Внутрішній поділ

Внутрішній поділ з формулою перерізу

Якщо точка P, яка лежить на відрізку AB, ділить цей відрізок, що сполучає точки $\mathrm{A}(x_1,y_1)$ і $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ у відношенні m:n, то

$P=(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n})$

Відношення m:n також можна записати як $m/n:1$, або $k:1$, де $k=m/n$. Отже, координатами точки $P$, яка ділить відрізок, що з’єднує точки $\mathrm{A}(x_1,y_1)$ і $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ є:

$(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n})$

$=(\frac{\frac{m}{n}{x}_2+x_1}{\frac{m}{n}+1},\frac{\frac{m}{n}{y}_2+y_1}{\frac{m}{n}+1})$

$=(\frac{k{x}_2+x_1}{k+1},\frac{k{y}_2+y_1}{k+1})$

Подібним чином, співвідношення також можна записати як $k:k-1$, а координатами точки P є $((1-k)x_1+k{x}_2,(1-k)y_1+k{y}_2)$.

Доказ

Дано два трикутники: $PAQ\sim BPC$.

$\begin{array}{c}\frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{CP}=\frac{PQ}{BC}\\ \frac{m}{n}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}\\ m{x}_2-mx=nx-n{x}_1,m{y}_2-my=ny-n{y}_1\\ mx+nx=m{x}_2+n{x}_1,my+ny=m{y}_2+n{y}_1\\ (m+n)x=m{x}_2+n{x}_1,(m+n)y=m{y}_2+n{y}_1\\ x=\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},y=\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n}\\ \end{array}$

Зовнішній поділ

Зовнішній поділ з формулою перерізу

Якщо точка P, що лежить на продовженні AB, ділить AB у відношенні m:n, то

$P=(\frac{m{x}_2-n{x}_1}{m-n},\frac{m{y}_2-n{y}_1}{m-n})$

Доказ

Дано два трикутники $PAC\sim PBD$. Нехай C і D — дві точки перетину AP і BP відповідно). Тому ∠ACP = ∠BDP.

$\begin{array}{c}\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}\\ \frac{m}{n}=\frac{x-x_1}{x-x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}\\ mx-m{x}_2=nx-n{x}_1,my-m{y}_2=ny-n{y}_1\\ mx-nx=m{x}_2-n{x}_1,my-ny=m{y}_2-n{y}_1\\ (m-n)x=m{x}_2-n{x}_1,(m-n)y=m{y}_2-n{y}_1\\ x=\frac{m{x}_2-n{x}_1}{m-n},y=\frac{m{y}_2-n{y}_1}{m-n}\\ \end{array}$

Формула середньої точки

Середня точка відрізка ділить його у співвідношенні $1:1$. Застосування формули перерізу для внутрішнього поділу: $P=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

Виведення

$P=(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n})$

$=(\frac{1\cdot x_1+1\cdot x_2}{1+1},\frac{1\cdot y_1+1\cdot y_2}{1+1})$

$=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

Геометричний центр

Геометричний центр трикутника

Геометричний центр трикутника є точкою перетину медіан, яка ділить кожну медіану у співвідношенні $2:1$. Нехай вершини трикутника $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ і $C(x_3,y_3)$. Отже, медіана з точки A перетне BC в точці $(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2})$. Використовуючи формулу перерізу, геометричним центром стає точка з координатами:

$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

У тривимірному просторі

Нехай A і B — дві точки з декартовими координатами (x ₁, y ₁, z ₁) і (x ₂, y ₂, z ₂), а P — точка на прямій, що проходить через A і B. Якщо $AP:PB=m:n$. Тоді формули розрізу дають такі координати точки P:

$(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n},\frac{m{z}_2+n{z}_1}{m+n})$

Якщо натомість, P є точкою на прямій так, що $AP:PB=k:1-k$, то її координати $((1-k)x_1+k{x}_2,(1-k)y_1+k{y}_2,(1-k)z_1+k{z}_2)$.

У векторній алгебрі

Позиційний вектор точки P, що розділяє відрізок, що з’єднує точки A і B, позиційні вектори яких є $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$

1. у співвідношенні $m:n$ внутрішньо, дається по $\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$
2. у співвідношенні $m:n$ зовні, дається по $\frac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n}$

Див. також

• Формула перерізу
• Формула відстані
• Формула середньої точки

Посилання

• розділ-формула GeoGebra