Стала Портера

У математиці стала Портера $C$ виникає при дослідженні ефективності алгоритму Евкліда. Вона названа на честь Дж. В. Портера з Кардіффського університету.

Алгоритм Евкліда знаходить найбільший спільний дільник двох натуральних чисел $m$ і $n$. Шаблон:Нп довів, що середня кількість ітерацій алгоритму Евкліда для фіксованого $n$ і усереднена за всіма виборами відносно взаємно простих чисел $m<n$ дорівнює

$\frac{12\ln 2}{{\pi }^2}\ln n+o(\ln n).$

Портер показав, що залишковий член у цій оцінці є константою, плюс поліноміально мала похибка. У свою чергу Дональд Кнут оцінив цю константу з високою точністю:

$\begin{array}{cc}C& =\frac{6\ln 2}{{\pi }^2}[3\ln 2+4\gamma -\frac{24}{{\pi }^2}{\zeta }^{\prime }(2)-2]-\frac{1}{2}\\ & =\frac{6\ln 2((48\ln A)-(\ln 2)-(4\ln \pi )-2)}{{\pi }^2}-\frac{1}{2}\\ & =1,4670780794\dots ,\end{array}$

де $\gamma$ — стала Ейлера—Маскероні, $\zeta$ — дзета-функція Рімана, $A$ — стала Глейшера–Кінкеліна.

Дивись Шаблон:OEIS:

$-{\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}[12\ln A-\gamma -\ln (2\pi )]=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}.$

${\displaystyle }$

Див. також

• Теорема Лохса
• Константа Леві