Матриці Паулі

Матриці Паулі — три $2\times 2$ матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Властивості

Матриці Паулі — ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

Комутаційні співвідношення

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

$[{\sigma }_x,{\sigma }_y]=2i{\sigma }_z$

$[{\sigma }_y,{\sigma }_z]=2i{\sigma }_x$

$[{\sigma }_z,{\sigma }_x]=2i{\sigma }_y$

Власні значення і власні вектори

Найважливішим для практичного застосування є оператор ${\sigma }_z$. Його власні значення $\pm 1$, а власні вектори

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ та $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Матриця

${\hat{\sigma }}_{+}=\frac{1}{2}({\hat{\sigma }}_x+i{\hat{\sigma }}_y)$

має ту властивість, що

${\hat{\sigma }}_{+}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=0,{\hat{\sigma }}_{+}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця

${\hat{\sigma }}_{-}=\frac{1}{2}({\hat{\sigma }}_x-i{\hat{\sigma }}_y)$

має ту властивість, що

${\hat{\sigma }}_{-}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=0,{\hat{\sigma }}_{-}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.

Внесок у гамільтоніан

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки записується у вигляді

$\hat{H}={\hat{H}}_0+g{\mu }_B\hat{\mathit{\sigma }}\cdot 𝐁$,

де g — g-фактор Ланде, ${\mu }_B$ — магнетон Бора, $𝐁$ — вектор магнітної індукції, ${\hat{H}}_0$ — та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

$\hat{H}={\hat{H}}_0+g{\mu }_B\widehat{{\sigma }_z}B$.

У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором ${\sigma }_z$ і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією $E_{n0}\pm g{\mu }_{B}H$, де $E_{n0}$ — це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.