Числа зірчастого октаедра

124 Шаблон:Нп, розташовані у формі зірчастого октаедра

Числа зірчастого октаедра (Шаблон:Lang-en) — фігурні числа, що підраховують число куль, які можна розташувати всередині зірчастого октаедра. Ці числа дорівнюють: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990 … (Шаблон:OEIS) і в загальному випадку задаються рівнянням $n(2n^2-1)$. Твірна функція чисел зірчастого октаедра: $\frac{x(x^2+10x+1)}{(x-1{)}^4}=x+14x^2+51x^3+124x^4+...$

Формули

Оскільки зірчастий октаедр можна подати як комбінацію октаедра та восьми тетраедрів меншого розміру, формулу для чисел зірчастого октаедра можна подати як $StOc{t}_n=O_n+8T_{n-1}$, де $O_n$ — $n$-не октаедричне число, а $T_n$ — $n$-не тетраедричне число. Оскільки $O_n=\frac{1}{3}n(2n^2+1)$, а $T_{n-1}=\frac{1}{6}(n-1)n(n+1)$, отримаємо $StOc{t}_n=\frac{1}{3}n(2n^2+1)+\frac{8}{6}(n-1)n(n+1)=\frac{1}{3}(n(2n^2+1)+4(n-1)n(n+1))=\frac{1}{3}(2n^3+n+4n^3-4n)=\frac{1}{3}(6n^3-3n)=n(2n^2-1)$.

Рекурентні формули $O_{n+1}=O_n+(n+1{)}^2+n^2$ та $T_{n+1}=T_n+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ дозволяють вивести для чисел зірчастого октаедра такі рівності: $StOc{t}_1=1$, $StOc{t}_{n+1}=StOc{t}_n+6n^2+6n+1$.

Рівняння Люнґґрена

Єдині числа зірчастого октаедра, що також є квадратами, це $StOc{t}_1=1$ і $StOc{t}_{169}=3107^2=9653449$. Єдиність нетривіального розв'язку випливає з єдиності розв'язку рівняння Шаблон:Не перекладено, діофантового рівняння $y^2=2x^4-1$.