Матриця зсуву

Матриця зсуву (Шаблон:Lang-en) — бінарна матриця, у якій одиниці стоять тільки на першій наддіагоналі або перші піддіагоналі.

• $U_{ij}={\delta }_{i+1,j}$ — верхня матриця зсуву.
• $L_{ij}={\delta }_{i,j+1}$ — нижня матриця зсуву.
• $L_{ij}=U_{ij}^T$.
• Характеристичний поліном для U:

  $p_U(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n.$

$U=\Vert \begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ \phantom{n}& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\phantom{.}\\ & & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & 1\\ \phantom{⋮}0& \dots & & & 0\end{array}\Vert ,U^2=\Vert \begin{array}{ccccc}0& 0& 1& \dots & 0\\ \phantom{n}& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\phantom{.}\\ & & \ddots & \ddots & 1\\ ⋮& & & \ddots & 0\\ \phantom{⋮}0& \dots & & & 0\end{array}\Vert ,\dots ,U^{n-1}=\Vert \begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \dots & 1\\ \phantom{n}& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\phantom{.}\\ & & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & 0\\ \phantom{⋮}0& \dots & & & 0\end{array}\Vert ,U^p=0(p\ge n).$

Приклади

• зсув вверх $\Vert \begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\Vert \cdot \Vert \begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\Vert ,$
• зсув вниз $\Vert \begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\Vert \cdot \Vert \begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ a_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\end{array}\Vert$,
• зсув вправо $\Vert \begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array}\Vert \cdot \Vert \begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cccc}0& a_1& a_2& a_3\\ 0& b_1& b_2& b_3\\ 0& c_1& c_2& c_3\end{array}\Vert$,
• зсув вліво $\Vert \begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array}\Vert \cdot \Vert \begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cccc}{a}_2& a_3& a_4& 0\\ b_2& b_3& b_4& 0\\ c_2& c_3& c_4& 0\end{array}\Vert$.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць