Біметричні теорії гравітації

Двовимірні моделі розширюють загальну теорію відносності, щоб точно пояснити природу темної матерії та темної енергії

Шаблон:Falseredirect Біметричні теорії гравітації — альтернативні теорії гравітації, в яких замість одного метричного тензора використовують два або більше. Часто друга метрика вводиться лише за високих енергій, із припущенням, що швидкість світла може залежати від енергії. Найвідомішими прикладами біметричних теорій є теорія Розена та релятивістська теорія гравітації (остання — в канонічному трактуванні).

Біметрична теорія Розена

У загальній теорії відносності передбачається, що відстань між двома точками у просторі-часі визначається метричним тензором. Для розрахунку форми метрики виходячи з розподілу енергії використовують рівняння Ейнштейна.

Натан Розен (1940) запропонував у кожній точці простору-часу ввести на додаток до ріманового метричного тензора $g_{ij}$ евклідів метричний тензор ${\gamma }_{ij}$. Таким чином, у кожній точці простору-часу ми отримуємо дві метрики:

$d{s}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$

$d{\sigma }^2={\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$

Перший метричний тензор $g_{ij}$ описує геометрію простору-часу і, отже, гравітаційне поле. Другий метричний тензор ${\gamma }_{ij}$ стосується плоского простору-часу та описує інерційні сили. Символи Крістоффеля, сформовані з $g_{ij}$ і ${\gamma }_{ij}$, позначимо ${\{}_{jk}^i\}$ і ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ відповідно. $\mathrm{\Delta }$ визначимо так, щоб

${\mathrm{\Delta }}_{jk}^i={\{}_{jk}^i\}-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i(1)$

Тепер виникають два види коваріантного диференціювання: $g$-диференціювання, засноване на $g_{ij}$ — позначають крапкою з комою (;), та 3-диференціювання на основі ${\gamma }_{ij}$ — позначають символом / (звичайні часткові похідні позначають комою (,)). $R_{ij\sigma }^{\lambda }$ і $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ будуть тензорами кривини, що розраховуються з $g_{ij}$ і ${\gamma }_{ij}$ відповідно. На основі викладеного вище підходу, тоді, коли ${\gamma }_{ij}$ описує плоску просторово-часову метрику, тензор кривини $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ дорівнює нулю.

З (1) випливає, що хоча ${\{}_{jk}^i\}$ і $\mathrm{\Gamma }$ не є тензорами, але $\mathrm{\Delta }$ — тензор, що має таку ж форму, як ${\{}_{jk}^i\}$, за винятком того, що звичайна часткова похідна замінюється 3-коваріантною похідною. Простий розрахунок приводить до

$R_{ijk}^h=-{\mathrm{\Delta }}_{ij/k}^h+{\mathrm{\Delta }}_{ik/j}^h+{\mathrm{\Delta }}_{mj}^h{\mathrm{\Delta }}_{ik}^m-{\mathrm{\Delta }}_{mk}^h{\mathrm{\Delta }}_{ij}^m$

Кожен член у правій стороні цього співвідношення є тензором. Видно, що від загальної теорії відносності можна перейти до нової теорії, замінивши ${\{}_{jk}^i\}$ на $\mathrm{\Delta }$, звичайне диференціювання на 3-коваріантне диференціювання, $\sqrt{-g}$ на $\sqrt{\frac{g}{\gamma }}$, елемент інтегрування $d^{4}x$ на $\sqrt{-\gamma }{d}^{4}x$, де $g=det(g_{ij})$, $\gamma =det({\gamma }_{ij})$ і $d^{4}x=d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^{3}d{x}^4$. Як тільки ми ввели ${\gamma }_{ij}$ в теорію, то в нашому розпорядженні виявляється багато нових тензорів та скалярів. Отже, можна отримати рівняння поля, відмінні від рівнянь поля Ейнштейна.

Рівняння для геодезичної в біметричній теорії відносності (БТВ) набуває форми

$\frac{d^{2}x}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i\frac{d{x}^j}{ds}\frac{d{x}^k}{ds}+{\mathrm{\Delta }}_{jk}^i\frac{d{x}^j}{ds}\frac{d{x}^k}{ds}=0(2)$

З рівнянь (1) і (2) видно, що можна вважати, що $\mathrm{\Gamma }$ описує інерційне поле, оскільки $\mathrm{\Gamma }$ зникає внаслідок відповідного перетворення координат. Властивість же $\mathrm{\Delta }$ бути тензором не залежить від будь-яких систем координат, і, отже, можна вважати, що $\mathrm{\Delta }$ визначає постійне гравітаційне поле.

Розен (1973) знайшов біметричні теорії, які задовольняють принципу еквівалентності. 1966 року Розен показав, що запровадження плоскої просторової метрики в межах загальної теорії відносності не лише дозволяє отримати щільність енергії-імпульсу тензора гравітаційного поля, але й дозволяє отримати цей тензор із варіаційного принципу. Рівняння поля у БТВ, отримане з варіаційного принципу

$K_j^i=N_j^i-\frac{1}{2}{\delta }_j^{i}N=-8\pi \kappa T_j^i(3)$

де

$N_j^i=\frac{1}{2}{\gamma }^{\alpha \beta }(g^{hi}{g}_{hj/\alpha }{)}_{/\beta }$

або

$N_j^i={\gamma }^{\alpha \beta }\{(g^{hi}{g}_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m),\beta \}-{\gamma }^{\alpha \beta }({\mathrm{\Gamma }}_{j\alpha }^i),\beta +{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \beta }^i[g^{h\lambda }{g}_{hj},\alpha -g^{h\lambda }{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{j\alpha }^{\lambda }]-{\mathrm{\Gamma }}_{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}{g}_{h\lambda },\alpha -g^{hi}{g}_{m\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \alpha }^i]$

$+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}{g}_{hj},\lambda -g^{hi}{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\lambda }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{j\lambda }^i]$

$N=g^{ij}{N}_{ij},\kappa =\sqrt{\frac{g}{\gamma }},$

і $T_j^i$ — тензор енергії-імпульсу. Варіаційний принцип приводить також до зв'язку

$T_{j;i}^i=0.$

Тому з (3)

$K_{j;i}^i=0,$

що має на увазі, що пробна частинка в гравітаційному полі рухається геодезичною відносно $g_{ij}$. Фізичні наслідки такої теорії, втім, не відрізняються від загальної теорії відносності.

За іншого вибору початкових рівнянь біметричні теорії та ЗТВ відрізняються в таких випадках:

• Поширення електромагнітних хвиль.
• Зовнішнє поле зір високої густини.
• Поширення інтенсивних гравітаційних хвиль через сильне статичне гравітаційне поле.

Посилання

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:СтаттяШаблон:Недоступне посилання
• Шаблон:СтаттяШаблон:Недоступне посилання