Вкорочувальний потік

Вкорочувальний потік — процес, що змінює гладку криву на площині переміщенням її точок перпендикулярно до кривої зі швидкістю, що дорівнює її кривині.

Вкорочувальний потік вивчається переважно як найпростіший приклад Шаблон:Не перекладено, зокрема дозволяє відпрацювати техніку для роботи з потоком Річчі і з потоком середньої кривини.

Рівняння

Однопараметричне сімейство кривих ${\gamma }_t$ є розв'язком вкорочувального потоку, якщо для будь-якого значення параметра $\tau$ маємо

$\frac{\partial {\gamma }_t(\tau )}{\partial t}={\kappa }_t(\tau )\cdot n_t(\tau ),$

де ${\kappa }_t(\tau )$ — кривина зі знаком кривої ${\gamma }_t$ у точці ${\gamma }_t(\tau )$ і $n_t(\tau )$ — одиничний вектор нормалі до кривої ${\gamma }_t$ у точці ${\gamma }_t(\tau )$.

Властивості

• Якщо початкова крива проста і замкнута, вона залишається такою під впливом вкорочувального потоку.
• Для простої замкнутої кривої ${\gamma }_0$ вкорочувальний потік ${\gamma }_t$ визначено на максимальному інтервалі $t\in [0,T)$.
  • При $t\to T$ крива ${\gamma }_t$ стягується в точку.
• Площа обмежена кривою зменшується зі сталою швидкістю.

  $\frac{dS}{dt}=2\cdot \pi .$

  • Зокрема момент стягування в точку повністю визначений площею, обмеженою кривою: $T=\frac{S_0}{2\cdot \pi }$.
• Якщо початкова крива не є опуклою, її максимальне абсолютне значення кривини зменшується монотонно, доки вона стане опуклою.
• Для опуклої кривої ізопериметричне відношення зменшується, і перш ніж зникнути в точці сингулярності, крива прямує формою до кола.
• Дві прості гладкі замкнуті криві, що не перетинаються, залишаються неперетинними, поки одна з них не стягнеться в точку.
• Коло — єдина проста замкнута крива, яка зберігає свою форму в потоці.
  • Деякі криві зі самоперетинами, а також криві нескінченної довжини, зберігають форму.

Застосування

• Вкорочувальний потік на сфері дає одне з доведень задачі Арнольда про існування хоча б чотирьох точок перегину в будь-якій гладкій кривій, яка розрізає сферу на рівновеликі диски.