Сферичність

Сферичність — кількісна міра того, наскільки сферичним (круглим) є об'єкт.

Гакон Воделл (H. Wadell) 1935 року^[1] визначив сферичність $Ψ$ частинки, як відношення площі поверхні сфери (того ж об'єму, що й дана частинка) до площі поверхні частинки:

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}},

де $V_{p}$ — об'єм частинки, $A_{p}$ — площа поверхні частинки. Сферичність сфери дорівнює одиниці за визначенням, а внаслідок ізопериметричної нерівності сферичність будь-якого іншого тіла менша від одиниці.

Виведення формули

Отже, Виразимо площу поверхні цієї частинки $A_{s}$ через її об'єм $V_{p}$ :

A_{s} = {(36 π V_{p}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 3 6^{\frac{1}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{p})}^{\frac{2}{3}} .

Тоді вираз сферичності $Ψ$ для довільної частинки, що має площу поверхні $A_{p}$ та об'єм $V_{p}$ , набуває вигляду

Ψ = \frac{A_{s}}{A_{p}} = \frac{π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{p})}^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} .

Сферичність $Ψ$ сплюснутого сфероїда дорівнює

A_{s}^{3} = {(4 π r^{2})}^{3} = 4^{3} π^{3} r^{6} = 4 π (4^{2} π^{2} r^{6}) = 4 π \cdot 3^{2} (\frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}} r^{6}) = 36 π {(\frac{4 π}{3} r^{3})}^{2} = 36 π V_{p}^{2} .

Приклади

Еліпсоїдальні об'єкти

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} = \frac{2 \sqrt[3]{a b^{2}}}{a + \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \ln (\frac{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{b})},

де a і b дорівнюють великій і малій півосям сфероїда.

Сферичність деяких об'єктів

Назва	Об'єм	Площа поверхні	Сферичність
Платонові тіла
Тетраедр	$\frac{\sqrt{2}}{12} s^{3}$	$\sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{6 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.671$
Куб (гексаедр)	$s^{3}$	$6 s^{2}$	${(\frac{π}{6})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.806$
Октаедр	$\frac{1}{3} \sqrt{2} s^{3}$	$2 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{3 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.846$
Додекаедр	$\frac{1}{4} (15 + 7 \sqrt{5}) s^{3}$	$3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} s^{2}$	${(\frac{{(15 + 7 \sqrt{5})}^{2} π}{12 {(25 + 10 \sqrt{5})}^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.910$
Ікосаедр	$\frac{5}{12} (3 + \sqrt{5}) s^{3}$	$5 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{{(3 + \sqrt{5})}^{2} π}{60 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.939$
Тіла з осьовою симетрією
Конус $(h = 2 \sqrt{2} r)$	$\frac{1}{3} π r^{2} h$ $= \frac{2 \sqrt{2}}{3} π r^{3}$	$π r (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}})$ $= 4 π r^{2}$	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.794$
Півсфера	$\frac{2}{3} π r^{3}$	$3 π r^{2}$	${(\frac{16}{27})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.840$
Циліндр $(h = 2 r)$	$π r^{2} h = 2 π r^{3}$	$2 π r (r + h) = 6 π r^{2}$	${(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.874$
Тор $(R = r)$	$2 π^{2} R r^{2} = 2 π^{2} r^{3}$	$4 π^{2} R r = 4 π^{2} r^{2}$	${(\frac{9}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.894$
Сфера	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$	$1$