Число обертання

У теорії динамічних систем, галузі математики, число обертання гомеоморфізму кола, що зберігає орієнтацію, - середнє "число обертів на одну ітерацію" при тривалому ітеруванні точки. Точніше, це границя відношення (у певний спосіб визначеного) "числа обертів" до кількості ітерацій.

Визначення

Для формального визначення замість гомеоморфізму кола $f:S^1\to S^1$ розглядають його підняття $F:ℝ\to ℝ$ для накриття кола прямою $S^1=ℝ/\mathbb{Z}$ . Число зсуву цього підняття визначають як границю

$\tau (F)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n},$

де $x\in ℝ$ - довільна точка. Число обертання f тоді визначають як

$\rho (f):=\tau (F)mod1\in ℝ/\mathbb{Z}$ .

Властивості

• Число обертання є інваріантом топологічного спряження, що зберігає орієнтацію, і навіть напівспряження відображеннями степеня 1: якщо $h:S^1\to S^1$ - відображення степеня 1, таке, що $f\circ h=h\circ g$, де $f,g$ — гомеоморфізми кола, числа обертання $f$ і $g$ збігаються.
• Як стверджує теорема Пуанкаре, число обертання раціональне тоді й лише тоді, коли відображення має періодичну точку.
• Теорема Данжуа стверджує, що якщо відображення $f$ — C²-гладке, а його число обертання $\rho (f)$ ірраціональне, то $f$ спряжене повороту на $\rho (f)$.
• Число обертання неперервно залежить від гомеоморфізму - відображення $\rho :Homeo(S^1)\to S^1$ неперервне.

Література

• Шаблон:Книга