Механіка Гамільтона

Шаблон:Фізична теорія Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона

Шаблон:Main Функція Гамільтона $\mathscr{H}(q_i,p_i,t)$ визначається через узагальнені координати $q_i$ і узагальнені імпульси $p_i$ виходячи з функції Лагранжа $ℒ(q_i,{\dot{q}}_i,t)$ наступним чином:

Узагальнені імпульси вводяться як

$p_i=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}$.

Функція Гамільтона визначається формулою

$\mathscr{H}=\sum _i{\dot{q}}_i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}-ℒ$.

Після цього всі узагальнені швидкості ${\dot{q}}_i$ в $\mathscr{H}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

$\mathscr{H}=T+V$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}$,

${\dot{q}}_i=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}$.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

$\mathscr{H}=\frac{(𝐩-e𝐀/c{)}^2}{2m}+e\phi$

де $e$ — заряд частинки, $\phi$ — електростатичний потенціал, $𝐀$ — векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

$\mathscr{H}=c\sqrt{m^2{c}^2+(𝐩-e𝐀/c{)}^2}+e\phi$.

Функція Гамільтона в теорії відносності

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа $ℒ$ (див. "Механіку" Ландау):

$\mathscr{H}=𝐯\frac{\partial L}{\partial 𝐯}-ℒ=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульсу. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

${\mathscr{H}}^2=c^2(p^2+m^2{c}^2)$,

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

$\mathscr{H}=c\sqrt{p^2+m{c}^2}$.

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії $\hat{H}$ будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів $p_i$ на оператори імпульсу $-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_i}$, де $\hslash$ -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

$\mathscr{H}(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+\frac{k{x}^2}{2}=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}$

де $k-$ коефіцієнт жорсткості, а $m-$ маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p}=\frac{p}{m}$,

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

$\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x}=-kx$,

Звідси можна отримати рівняння руху:

$m\ddot{x}+kx=0$.

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

$S=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\mathscr{H}(x,p,t)dt=\frac{1}{2}m{a}^2{\omega }^{2}T,$

де $a-$ амплітуда коливань, $\omega =\sqrt{k/m}-$ циклічна частота, а $T=2\pi /\omega -$ період.

Електричний осцилятор

Для класичного $LC-$ контуру функція Гамільтона має вигляд:

$\mathscr{H}(q,p_M,t)=\frac{p_M^2}{2L}+\frac{q^2}{2C}$

де $p_M=L\dot{q}-$ "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

$S=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\mathscr{H}(x,p_M,t)dt=\frac{1}{2}L{q}_0^2{\omega }^{2}T,$

де $q_0-$ амплітудне значення заряду, $\omega =\sqrt{1/LC}-$ циклічна частота, а $T=2\pi /\omega -$ період коливань.

Див. також

• Механіка Лагранжа
• Рівняння Гамільтона — Якобі
• Дужки Пуассона

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Ландау.Ліфшиць.Теор.Фізика.10т.укр
• Шаблон:Книга