Узагальнена дисперсія

У багатовимірній статистиці узага́льнена диспе́рсія (Шаблон:Lang-en), на додачу до Шаблон:Нп, є одним з ключових показників загального розсіювання багатовимірного набору даних (з $p$ змінними $X_j$). При порівнянні узагальнених дисперсій двох різних загальних сукупностей можливо, що одна сукупність має більшу узагальнену дисперсію, ніж інша, але все ж меншу загальну дисперсію.

Узагальнену дисперсію визначають через визначник коваріаційної матриці. Поняття узагальненої дисперсії запровадив Шаблон:Нп.

Визначення

Для коваріаційної матриці $\mathrm{\Sigma }$ загальної сукупності узагальнену дисперсію визначають як її визначник, тобто,

$\text{узагальнена дисперсія}=\left|\begin{array}{c}\mathrm{\Sigma }\end{array}\right|$ .

І навпаки, ви́біркову узагальнену дисперсію визначають як $\left|\begin{array}{c}𝐒\end{array}\right|$. В цьому випадку $𝐒$ подає Шаблон:Нп.

Геометрична інтерпретація

Ви́біркова узагальнена дисперсія має геометричну інтерпретацію. Розширення еліпса на понад два виміри називають гіпереліпсоїдом. p-вимірний гіпереліпсоїд ${(𝐲-\overline{𝐲})}^{\mathrm{\top }}{𝐒}^{-1}(𝐲-\overline{𝐲})=a^2$ з центром в $\overline{𝐲}$ та на основі ${𝐒}^{-1}$ для стандартизації відстані до центру містить підмножину спостережень ${𝐲}_1,{𝐲}_2,\dots ,{𝐲}_n$ вибірки. Еліпсоїд ${(𝐲-\overline{𝐲})}^{\mathrm{\top }}{𝐒}^{-1}(𝐲-\overline{𝐲})=a^2$ має осі, пропорційні квадратним кореням з власних значень ви́біркової коваріаційної матриці. Можливо показати, що об'єм цього еліпсоїда пропорційний ${\left|\begin{array}{c}𝐒\end{array}\right|}^{-1/2}$.