Фуксова модель

Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.

Точніше визначення

За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, Шаблон:Не перекладено або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня $R$, яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини $ℍ$ за підгрупою $\mathrm{\Gamma }$, що діє цілком розривно та вільно.

У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група Шаблон:Не перекладено є групою ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$, що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту $\mathrm{\Gamma }\subset {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$, така, що ріманова поверхня $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ ізоморфна $R$. Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм $R\cong \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ — фуксовою моделлю для $R$.

Фуксові моделі та простір Тейхмюллера

Нехай $R$ — замкнена гіперболічна поверхня і нехай $\mathrm{\Gamma }$ — фуксова група, така, що $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ є фуксовою моделлю для $R$. Нехай

$A(\mathrm{\Gamma })=\{\rho :\mathrm{\Gamma }\to {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)\}$.

Тут $A(\mathrm{\Gamma })$ — множина всіх $\rho$ ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»)Шаблон:Sfn. У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група $\mathrm{\Gamma }$ є Шаблон:Не перекладено оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі $R$. Нехай $g_1,\dots ,g_r$ — породжувальна множина, тоді будь-яке $\rho \in A(\mathrm{\Gamma })$ визначається елементами $\rho (g_1),\dots ,\rho (g_r)$ і можна ототожнити $A(G)$ з підмножиною ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ{)}^r$ відображенням $\rho \mapsto (\rho (g_1),\dots ,\rho (g_r))$. Тим самим ми задамо топологію підпростору.

Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з Шаблон:Нп) тоді стверджує такеШаблон:Sfn:

Для будь-якого подання $\rho \in A(G)$ існує автогомеоморфізм (фактично, Шаблон:Не перекладено) $h$ верхньої півплощини $ℍ$, таке, що $h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )$ для будь-кого $\gamma \in G$.

Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм $R\to \rho (\mathrm{\Gamma })\mathrm{\setminus }ℍ$ і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки $R$ компактна.

Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера $R$Шаблон:Sfn — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи ${\pi }_1(R)$ у класи суміжності ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ і множини відмічених ріманових поверхонь $(X,f)$, де $f:R\to X$ — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.

Див. також

• Модель Кляйна, аналогічна побудова для 3D-многовидів
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга