Перегляд вихідного коду сторінки T-розподіл Стьюдента

{{DISPLAYTITLE:''t''-розподіл Стьюдента}}
{{Розподіл ймовірностей
| name       = ''t''-Стьюдента
| type       = pdf
| pdf_image  = Student densite best.JPG
| pdf_image_size = 325px
| cdf_image  = T distributionCDF.png
| cdf_image_size = 325px
| parameters = <math>\nu > 0 </math> ступені свободи ([[дійсні числа|дійсне]])
| support    = <math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
| pdf        = <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!</math>
| <!--For "<math>":
  --  Split formulas by "\begin{matrix}" with "\\[0.5em]" split --
  --  as 0.5em interline spacing; end with "\end{matrix}".      --
  --  Fractions have 2 brace-pairs. A centered dot is "\cdot". -->
  cdf = <math>\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \cdot\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})}
     \end{matrix}</math><br/
     >де <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> це [[гіпергеометрична функція]]
| mean       = <math>0</math> для <math>\nu>1</math>, інакше невизначено
| median     = <math>0</math>
| mode       = <math>0</math>
| variance   = <math>\frac{\nu}{\nu-2}</math> для <math>\nu>2\!</math>, інакше невизначена
| skewness   = <math>0</math> для <math>\nu>3</math>
| kurtosis   = <math>\frac{6}{\nu-4}</math> для <math>\nu>4\!</math>
| entropy    = <math>\begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+\nu}{2}) 
               - \psi(\frac{\nu}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}</math>
* <math>\psi</math>: [[дигамма-функція]],  
* <math>B</math>: [[Бета-функція]]
| mgf        = (не визначена)
| char       = <math>\frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0</math>
* <math>K_{\nu}(x)</math>: [[Функції Бесселя|бесселівська функція]],

див.<ref>Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95, available online: http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100218072259/http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ |date=18 лютого 2010 }}</ref>
}}

У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та [[статистика|статистиці]] '''<var>t</var>-розподіл''' чи '''<var>t</var>-розподіл Стьюдента'''&nbsp;— різновид [[розподіл ймовірностей|розподілу ймовірностей]], який виникає в задачі оцінення [[Математичне сподівання|сподіваного значення]] [[нормальний розподіл|нормально розподіленої]] популяції, коли розмір [[Вибірка|вибірки]] малий. Цей розподіл є основою популярного [[t-тест Ст'юдента|''t''-тесту Стьюдента]] [[статистична значущість|статистичної значущості]] різниці [[математичне сподівання|математичних сподівань]] двох вибірок, та [[Довірчий інтервал|довірчого інтервалу]] різниці очікуваних значень двох вибірок. <var>t</var>-розподіл Стьюдента є також частковим випадком {{Не перекладено|Узагальнений гіперболічний розподіл|узагальненого гіперболічного розподілу||Generalised hyperbolic distribution}}. Розроблений [[Вільям Сілі Госсет|В.&nbsp;С.&nbsp;Госсетом]] (псевдонім «Стьюдент»).

== Як розподіл Стьюдента виникає з вибірки ==
Нехай ''X''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''X''<sub>''n''</sub>&nbsp;— це незалежні випадкові величини з розподілу ''N''(''&mu;'',&nbsp;''&sigma;''<sup>2</sup>), тобто це вибірка розміру ''n'' з популяції з нормальним розподілом з середнім значенням&nbsp;''&mu;'' і дисперсією&nbsp;''&sigma;''<sup>2</sup>.

Нехай

: <math> \bar X = \frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i </math>

буде середнім вибірки і нехай

: <math> S^2 = \frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 </math>

буде (виправлена згідно з [[Поправка Бесселя|Бесселем]]) дисперсія вибірки. Тоді випадкова величина

: <math> \frac{ \bar X - \mu } { \sigma / \sqrt n} </math>

має стандартний нормальний розподіл (тобто, з середнім&nbsp;0 і дисперсією&nbsp;1), а випадкова величина

: <math> \frac{ \bar X - \mu} {S/\sqrt n} </math>

(де ми підставили ''S'' замість ''&sigma;'') має ''t''-розподіл Стьюдента з ''n''&nbsp;−&nbsp;1 ступенями вільності. Через те що ми замінили <math>S</math> на <math>\sigma,</math> єдина неспостережувана величина тут це <math>\mu,</math> отже ми можемо використати це, щоб знайти довірчі інтервали для <math>\mu.</math> Зауважте, що незважаючи на те, що вони базуються на тій самій вибірці <math display="inline">X_1,\ldots,X_n,</math> чисельник і знаменник у попередньому виразі&nbsp;— незалежні випадкові величини. Це можна побачити спостерігши, що <math display=inline>\operatorname{cov}( \overline X,\, X_i-\overline X)=0,</math> і згадавши, що <math display=inline> \overline X</math> і <math display=inline>X_i-\overline X</math> це дві лінійні комбінації тої самої множини [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|н.о.р.]] нормально розподілених випадкових величин.

== Означення ==

=== Щільність розподілу ===
''Т''-розподіл Стьюдента має функцію [[Густина імовірності|щільності розподілу]], що задається формулою

: <math>f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}},\!</math>

де <math>\nu</math>&nbsp;— кількість [[ступені вільності|ступенів вільності]], <math>\Gamma</math>&nbsp;— [[гамма-функція]]. Формула також може бути записана у вигляді

: <math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{\nu}\, B \left (\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2}\right )} \left(1+\frac{t^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\!,</math>

де ''B''&nbsp;— [[бета-функція]].

Для парних значень <math>\nu</math>

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3} {2\sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4 \cdot 2\,}. </math>

Для непарних значень <math>\nu</math>

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\,}.\!</math>

=== Функція розподілу ймовірності ===
Функція розподілу може бути записана в термінах ''I'', регуляризованої
[[Бета-функція#Неповна бета-функція|неповна бета-функція]]. Для ''t''&nbsp;>&nbsp;0<ref name="JKB">Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995)
''Continuous Univariate Distributions, Volume 2,'' 2nd Edition. Wiley, ISBN 0-471-58494-0 (Chapter 28) {{ref-en}}</ref>

: <math>\int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1- \frac{1}{2} I_{x(t)}\left(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2}\right) ,</math>
з
: <math>x(t) = \frac{\nu}{{t^2+\nu}}.</math>

Інші значення отримуються симетрично. Альтернативна формула дійсна для ''t''<sup>2</sup>&nbsp;<&nbsp;ν, така<ref name=JKB/>
: <math>\int_{-\infty}^t f(u)\,du = 
     \frac{1}{2} + t  \frac{\Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)} \,
    _2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};  -\frac{t^2}{\nu} \right)
         </math>
де <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>&nbsp;— певний випадок [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричної функції]].

=== Особливі випадки ===
Для певних значень параметра <math>\nu</math> розподіл Стьюдента має просту форму.

* <math>\nu = 1</math>

: Функція розподілу:

:: <math>F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\arctan(x).</math>

: Функція щільності:

:: <math>f(x) =  \frac{1}{\pi (1+x^2)}.</math>

: Див. [[Розподіл Коші]]

* <math>\nu = 2</math>
: Функція розподілу:

:: <math>F(x) = \tfrac{1}{2}+\frac{x}{2\sqrt{2+x^2}}.</math>

: Функція щільності:

:: <math>f(x) = \frac{1}{\left(2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}.</math>

* <math>\nu=3</math>

: Функція щільності:

:: <math>f(x) = \frac{6\sqrt{3}}{\pi\left(3+x^2\right)^2}.</math>

* <math>\nu = \infty</math>

: Функція щільності:

:: <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}.</math>

: Див. [[нормальний розподіл]]

=== Порівняння з нормальним розподілом ===
Загалом щільність ''t''-розподілу схожа на дзвоноподібну функцію щільності нормального розподілу, з тією відмінністю, що у ''t''-розподілу вона трохи нижча і ширша. За кількості ступенів свободи, що прямує до нескінченості, ''t''-розподіл прямує до нормального розподілу з [[математичне сподівання|математичним сподіванням]] 0 і [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]] 1.

На графіках нижче показано щільності ''t''-розподілу для зростаючих значень параметру <math>\nu</math>. Для порівняння, нормальний розподіл зображено синім. Можна помітити, що із збільшенням <math>\nu</math> щільність ''t''-розподілу наближається до нормального.
{{center|
Щільність ''t''-розподілу для 1, 3, 5, 30 ступенів вільності (зображено червоним) у порівнянні зі щільністю нормального розподілу (зображено синім). Зеленим показано щільності з меншою кількістю ступенів вільності."
<gallery widths=300 heights=300>
Файл:T distribution 1df.png|1 ступінь вільності
Файл:T distribution 3df.png|3 ступені вільності
Файл:T distribution 5df.png|5 ступені вільності
Файл:T distribution 30df.png|30 ступенів вільності
</gallery>
}}

== Таблиця вибраних значень ==

Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з ''r'' ступенями свободи для [[Довірчий інтервал|інтервалів певності]] 90&nbsp;%, 95&nbsp;%, 97,5&nbsp;% та 99,5&nbsp;%.
Ці числа «односторонні», тобто коли ми бачимо «90%», «4 ступенів свободи», та «1.533»,

: це означає <math>\displaystyle Pr(T<1,533)=0,9;</math>
: це '''не''' означає <math>\displaystyle Pr(-1,533<T<1,533)=0,9</math>

Тому, по симетрії розподілу, ми маємо

: <math>\displaystyle  Pr(T<-1,533)=Pr(T>1,533)=1-0,9=0,1</math>
та в результаті

: <math>\displaystyle  Pr(-1,533<T<1,533)=1-2\cdot 0,1=0,8.</math>

{{clear}}

{| border="1" cellpadding="2"
|-
| ''r''
| '''75&nbsp;%'''
| '''80&nbsp;%'''
| '''85&nbsp;%'''
| '''90&nbsp;%'''
| '''95&nbsp;%'''
| '''97.5&nbsp;%'''
| '''99&nbsp;%'''
| '''99.5&nbsp;%'''
| '''99.75&nbsp;%'''
| '''99.9&nbsp;%'''
| '''99.95&nbsp;%'''
|-
|'''1'''
|1.000
|1.376
|1.963
|3.078
|6.314
|12.71
|31.82
|63.66
|127.3
|318.3
|636.6
|-
|'''2'''
|0.816
|1.061
|1.386
|1.886
|2.920
|4.303
|6.965
|9.925
|14.09
|22.33
|31.60
|-
|'''3'''
|0.765
|0.978
|1.250
|1.638
|2.353
|3.182
|4.541
|5.841
|7.453
|10.21
|12.92
|-
|'''4'''
|0.741
|0.941
|1.190
|1.533
|2.132
|2.776
|3.747
|4.604
|5.598
|7.173
|8.610
|-
|'''5'''
|0.727
|0.920
|1.156
|1.476
|2.015
|2.571
|3.365
|4.032
|4.773
|5.893
|6.869
|-
|'''6'''
|0.718
|0.906
|1.134
|1.440
|1.943
|2.447
|3.143
|3.707
|4.317
|5.208
|5.959
|-
|'''7'''
|0.711
|0.896
|1.119
|1.415
|1.895
|2.365
|2.998
|3.499
|4.029
|4.785
|5.408
|-
|'''8'''
|0.706
|0.889
|1.108
|1.397
|1.860
|2.306
|2.896
|3.355
|3.833
|4.501
|5.041
|-
|'''9'''
|0.703
|0.883
|1.100
|1.383
|1.833
|2.262
|2.821
|3.250
|3.690
|4.297
|4.781
|-
|'''10'''
|0.700
|0.879
|1.093
|1.372
|1.812
|2.228
|2.764
|3.169
|3.581
|4.144
|4.587
|-
|'''11'''
|0.697
|0.876
|1.088
|1.363
|1.796
|2.201
|2.718
|3.106
|3.497
|4.025
|4.437
|-
|'''12'''
|0.695
|0.873
|1.083
|1.356
|1.782
|2.179
|2.681
|3.055
|3.428
|3.930
|4.318
|-
|'''13'''
|0.694
|0.870
|1.079
|1.350
|1.771
|2.160
|2.650
|3.012
|3.372
|3.852
|4.221
|-
|'''14'''
|0.692
|0.868
|1.076
|1.345
|1.761
|2.145
|2.624
|2.977
|3.326
|3.787
|4.140
|-
|'''15'''
|0.691
|0.866
|1.074
|1.341
|1.753
|2.131
|2.602
|2.947
|3.286
|3.733
|4.073
|-
|'''16'''
|0.690
|0.865
|1.071
|1.337
|1.746
|2.120
|2.583
|2.921
|3.252
|3.686
|4.015
|-
|'''17'''
|0.689
|0.863
|1.069
|1.333
|1.740
|2.110
|2.567
|2.898
|3.222
|3.646
|3.965
|-
|'''18'''
|0.688
|0.862
|1.067
|1.330
|1.734
|2.101
|2.552
|2.878
|3.197
|3.610
|3.922
|-
|'''19'''
|0.688
|0.861
|1.066
|1.328
|1.729
|2.093
|2.539
|2.861
|3.174
|3.579
|3.883
|-
|'''20'''
|0.687
|0.860
|1.064
|1.325
|1.725
|2.086
|2.528
|2.845
|3.153
|3.552
|3.850
|-
|'''21'''
|0.686
|0.859
|1.063
|1.323
|1.721
|2.080
|2.518
|2.831
|3.135
|3.527
|3.819
|-
|'''22'''
|0.686
|0.858
|1.061
|1.321
|1.717
|2.074
|2.508
|2.819
|3.119
|3.505
|3.792
|-
|'''23'''
|0.685
|0.858
|1.060
|1.319
|1.714
|2.069
|2.500
|2.807
|3.104
|3.485
|3.767
|-
|'''24'''
|0.685
|0.857
|1.059
|1.318
|1.711
|2.064
|2.492
|2.797
|3.091
|3.467
|3.745
|-
|'''25'''
|0.684
|0.856
|1.058
|1.316
|1.708
|2.060
|2.485
|2.787
|3.078
|3.450
|3.725
|-
|'''26'''
|0.684
|0.856
|1.058
|1.315
|1.706
|2.056
|2.479
|2.779
|3.067
|3.435
|3.707
|-
|'''27'''
|0.684
|0.855
|1.057
|1.314
|1.703
|2.052
|2.473
|2.771
|3.057
|3.421
|3.690
|-
|'''28'''
|0.683
|0.855
|1.056
|1.313
|1.701
|2.048
|2.467
|2.763
|3.047
|3.408
|3.674
|-
|'''29'''
|0.683
|0.854
|1.055
|1.311
|1.699
|2.045
|2.462
|2.756
|3.038
|3.396
|3.659
|-
|'''30'''
|0.683
|0.854
|1.055
|1.310
|1.697
|2.042
|2.457
|2.750
|3.030
|3.385
|3.646
|-
|'''40'''
|0.681
|0.851
|1.050
|1.303
|1.684
|2.021
|2.423
|2.704
|2.971
|3.307
|3.551
|-
|'''50'''
|0.679
|0.849
|1.047
|1.299
|1.676
|2.009
|2.403
|2.678
|2.937
|3.261
|3.496
|-
|'''60'''
|0.679
|0.848
|1.045
|1.296
|1.671
|2.000
|2.390
|2.660
|2.915
|3.232
|3.460
|-
|'''80'''
|0.678
|0.846
|1.043
|1.292
|1.664
|1.990
|2.374
|2.639
|2.887
|3.195
|3.416
|-
|'''100'''
|0.677
|0.845
|1.042
|1.290
|1.660
|1.984
|2.364
|2.626
|2.871
|3.174
|3.390
|-
|'''120'''
|0.677
|0.845
|1.041
|1.289
|1.658
|1.980
|2.358
|2.617
|2.860
|3.160
|3.373
|-
|'''<math>\infty</math>'''
|0.674
|0.842
|1.036
|1.282
|1.645
|1.960
|2.326
|2.576
|2.807
|3.090
|3.291
|}

Наприклад, якщо ми маємо вибірку з варіацією 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуючи формулу:

: <math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>

Ми можемо визначити що з 90-відсотковою впевненістю ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить в інтервалі:

: <math>10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510</math>

Та, знову з 90&nbsp;% впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поза інтервалом:

: <math>10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490</math>

Так, з 80&nbsp;% впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поміж:

: <math>10\pm1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=[9.41490,10.58510]</math>

== Література ==

* «Student» (W.S. Gosset) (1908) The probable error of a mean. ''{{Не перекладено|Biometrika|||Biometrika}}'' 6(1):1-25.
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) ''{{Не перекладено|Handbook of Mathematical Functions|||Abramowitz and Stegun}} with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover. ''(See Section 26.7.)''
* R.V. Hogg and A.T. Craig (1978) ''Introduction to Mathematical Statistics''. New York: Macmillan.

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20060513064443/http://faculty.vassar.edu/lowry/tsamp.html VassarStats] Density plot, critical values, etc., calculated for a user-specified number of d.f.
* [https://web.archive.org/web/19991003231318/http://members.aol.com/jeff570/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)] ''(Remarks on the history of the term «Student's distribution»)''
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html Distribution Calculator] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070129113929/http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html |date=29 січня 2007 }} Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution
* [https://web.archive.org/web/20070508022437/http://www.mth.kcl.ac.uk/~shaww/web_page/papers/Tdistribution06.pdf New Methods for Managing «Student's» T Distribution] Surveys techniques for sampling with new techniques using the inverse CDF directly

== Див. також ==
* [[Статистика]]
* [[Теорія ймовірностей]]

== Примітки ==
{{примітки}}

{{Список розподілів ймовірності}}
{{Статистика|state=collapsed}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]
[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Нормальний розподіл]]
[[Категорія:Розподіли ймовірності не зі скінченною дисперсією]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності]]
[[Категорія:Ймовірнісні розподіли]]
[[Категорія:Сімейство розподілів з параметрами зсуву та масштабу]]