Перегляд вихідного коду сторінки SL(2,R)

{{Теорія груп}}

У [[Математика|математиці]], [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|спеціальна лінійна група]] <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> або <math>\operatorname{SL}_{2}(\mathbb{R})</math>&nbsp;— це [[Група (математика)|група]] дійсних <math>:2 \times 2</math> матриць, з [[Визначник|детермінантом]] <math>1</math>:

: <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) = \left\{\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) \colon a,b,c,d \in \mathbb{R} \ \text{і} \ ad-bc=1\right\}.</math>

Це [[Зв'язний простір|зв'язна]] [[Компактний простір|некомпактна]] [[Проста група Лі|проста]] [[Група Лі|дійсна група Лі]], яка має застосування у [[Геометрія|геометрії]], [[Топологія|топології]], [[Теорія представлень|теорії представлень]] і [[Фізика|фізиці]].

<math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> діє на [[Верхня півплощина|комплексній верхній півплощині]] шляхом [[Дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійних&nbsp; перетворень]]. [[Дія групи]] виражається через факторгрупу <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> (<math>2 \times 2</math> [[Проєктивна група|спеціальна проєктивна група]] над <math>\mathbb{R}</math>). Більш конкретно,

: <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R}) = \operatorname{SL}(2,\mathbb{R})/\{\pm I\}</math>,

де <math>I</math>&nbsp;— <math>2 \times 2</math> [[одинична матриця]]. Вона містить [[Модулярна група|модулярну групу]] <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})</math>.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна {{iw|3=en|4=Covering_group|покривна група}} <math>\operatorname{Mp}(2,\mathbb{R})</math>, або {{iw|3=en|4=Metaplectic_group|метаплектична група}} (вважаючи <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> [[Симплектична група|симплектичною групою]]).

Інша пов'язана група це <math>\operatorname{SL}^{\pm}(2,\mathbb{R})</math>, група дійсних <math>2 \times 2</math> матриць з детермінантом <math>\pm 1</math>; вона є більш загальновживаною у контексті [[Модулярна група|модулярних груп]].

=== Опис ===
<math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> це група всіх [[Лінійне відображення|лінійних перетворень]] у <math>\mathbb{R^2}</math>, яка зберігає [[Орієнтація|орієнтацію]]. Вона [[Ізоморфізм|ізоморфна]]  [[Симплектична група|симплектичній групі]] <math>\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})</math>і спеціальній унітарній групі <math>\operatorname{SU}(1,1)</math>.Також вона є ізоморфною групі одиничних [[Кватерніони|кватерніонів]]. Група <math>\operatorname{SL}^{\pm}(2,\mathbb{R})</math> не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> допускає декілька цікавих означень:

* Це група [[Проєктивне перетворення|проєктивних перетворень]] на {{iw|3=en|4=Real_projective_line|Дійсна проєктивна пряма|дійсній проєктивній прямій}} <math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math>, що зберігає [[Орієнтація|орієнтацію]].
* Це група [[Конформне відображення|конформних]] [[автоморфізм]]ів [[Одиничний круг|одиничного круга]].
* Це група [[Ізометрія (математика)|ізометрій]] [[гіперболічна геометрія|гіперболічної площини]], що зберігає [[Орієнтація|орієнтацію]].
* Це обмежена [[група Лоренца]] тривимірного [[Простір Мінковського|простору Мінковского]]. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна [[Невизначена ортогональна група|невизначеній ортогональній групі]] <math>\operatorname{SO}^{+}(1,2)</math>. З цього випливає, що <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> ізоморфна [[Спінорна група|спінорній групі]] <math>\operatorname{Spin}(2,1)^{+}</math>.

Елементи модулярної групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})</math> мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})</math> (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math>.

==== Проєктивні перетворення ====
Елементи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> є [[Проєктивне перетворення|проєктивними перетвореннями]] на {{iw|3=en|4=Real_projective_line|Дійсна проєктивна пряма|дійсній проєктивній прямій}} <math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math>:

: <math>[x,1]\longmapsto [x,1]\left(\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right) = [ax+b, cx+d] = \left[\frac{ax+b}{cx+d},1\right].</math>

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})</math>, яка діє на [[Сфера Рімана|сферу Рімана]] шряхом [[Перетворення Мебіуса|перетворень Мебіуса]].

Якщо дійсна пряма розглядається границею [[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|гіперболічної площини]], то <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> описує {{iw|3=en|4=Hyperbolic_motion|Гіперболічний рух|гіперболічні рухи}}.

===== Перетворення Мебіуса =====
Елементи групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

: <math>z \longmapsto \frac{az+b}{cz+d} \ (\text{де} \  a,b,c,d \in \mathbb{R})</math>.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає [[Верхня півплощина|верхню півплощину]]. З цього випливає, що <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до [[Теорема Рімана про відображення|теореми Рімана про відображення]], вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як [[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|ізометрії моделі верхньої півплощини]] гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями [[Конформно-евклідова модель|моделі Пуанкаре]].

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для [[Дуальні числа|дуальних]] і [[Подвійні числа|подвійних чисел]]. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки<ref>Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math>. London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi: [https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/p835 10.1142/p835] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190924150108/https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/p835|date=24 вересня 2019}}. ISBN 978-1-84816-858-9. MR [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2977041 2977041] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170511105647/http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2977041|date=11 травня 2017}}.</ref> з [[гіперболічна геометрія|гіперболічна геометрією]].

====== Приєднане представлення ======
Група <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> діє на свою алгебру Лі <math>{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{R})</math> шляхом [[Клас спряженості|спряженості]] (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є <math>2 \times 2</math> матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне [[Теорія представлень|представлення]] групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math>. Це також можна описати як дію групи на простір [[Квадратична форма|квадратичних форм]] у <math>\mathbb{R^2}</math>. Як результат матимемо наступне представлення:

: <math>\left[\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right] \longmapsto \left[\begin{matrix}a^2 & 2ab & b^2 \\ ac & ad+bc & bd \\ c^2 & 2cd & d^2\end{matrix}\right]</math>.

[[Форма Кіллінга]] алгебри <math>{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{R})</math> має [[Сигнатура (лінійна алгебра)|сигнатуру]] <math>(2,1)</math> і встановлює ізоморфізм між групою <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> і [[Група Лоренца|групою Лоренца]] <math>\operatorname{SO}^{+}(2,1)</math>. Така дія групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> на [[простір Мінковського]] обмежується до ізометричної дії групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> на [[Гіперболоїдна модель|гіперболоїдну модель]] гіперболічної площини.

==== Класифікація елементів ====
Власні значення елемента <math>A \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R})</math> задовольняють характеристичний многочлен

: <math>\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+1=0</math>,

звідси

: <math>\lambda = \frac{\operatorname{tr}(A)\pm \sqrt{\operatorname{tr}(A)^2-4}}{2}</math>.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

* Якщо <math>|\operatorname{tr}(A) |<2</math>, то <math>A</math> називається ''еліптичним'' і є спряженим до [[Обертання|поворотів]].
* Якщо <math>|\operatorname{tr}(A) |=2</math>, то <math>A</math> називається ''параболічним'' і є [[Відображення зсуву|відображенням зсуву]].
* Якщо <math>|\operatorname{tr}(A) |>2</math>, то <math>A</math> називається ''гіперболічним'' і є {{iw|3=en|4=Squeeze_mapping|Відображення стискання|відображенням стискання}}.

Назви відповідають класифікації [[Конічні перетини|конічних перетинів ексцентриситетом]]: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (<math>\epsilon =\frac{1}{2} \operatorname{tr}</math>; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти <math>\pm1</math>, як і при роботі з групою <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math>), тоді це приводить до наступних випадків: <math>\epsilon <1</math>, еліптичний; <math>\epsilon = 1</math>, параболічний; <math>\epsilon > 1</math>, гіперболічний.

Одиничний елемент <math>1</math> і від'ємний одиничний елемент <math>-1</math> (у випадку групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> вони співпадають) мають слід <math>\pm 2</math>, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама [[Перетворення Мебіуса|класифікація]] використовується для груп <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> і <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math>(дійсне [[перетворення Мебіуса]]), з додатковими ``локсодромними<nowiki>''</nowiki> перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; [[Ексцентриситет#Аналогічні класифікації|аналогічні класифікації]] використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, {{iw|3=en|4=Borel_subgroup|Параболічна підгрупа|параболічною підгрупою}}, гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і&nbsp;т.&nbsp;ін.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних [[Однопараметрична група|однопараметричних підгруп]]} (можливо домножені на <math>\pm 1</math>), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи <math>\pm 1</math>) є [[Відкрита множина|відкритими множинами]], так само, як гіперболічні елементи (виключаючи <math>\pm 1</math>), у той час як параболічні елементи (включаючи <math>\pm 1</math>) є [[Замкнута множина|замкнутими множинами]].

==== Еліптичні елементи ====
[[Власні значення]] еліптичного елемента є комплексними, а також [[Спряжені числа|комплексно спряженими]] значеннями на [[Одиничне коло|одиничному колі]]. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору&nbsp;— вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі&nbsp;— а відповідний елемент групи <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})</math> діє як (спряжений до) [[Обертання|повороту]] гіперболічної площини і [[Простір Мінковського|простору Мінковського]].

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення <math>\{\omega, \omega^{-}\}</math>, де <math>\omega</math> це простий [[корінь з одиниці]] третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного [[Порядок (теорія груп)|порядку]], і на [[Тор (геометрія)|торі]] вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами<nowiki>''</nowiki> (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями <math>\pm i</math> і є спряженими до поворотів на <math>90^{\circ}</math>, а також є квадратами до <math>-I</math>: вони є нетотожними [[Інволюція (математика)|інволюціями]] у групі <math>\operatorname{PSL(2)}</math>.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, [[Спеціальна ортогональна група|спеціальну ортогональну групу]] <math>\operatorname{SO(2)}</math>; кут повороту є [[арккосинус]]ом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі <math>\operatorname{GL(2)}</math>, але не у групі <math>\operatorname{SL(2)}</math>.)

== Див. також ==

* [[Лінійна група]]
* [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|Спеціальна лінійна група]]
* [[Проєктивна група|Проєктивна лінійна група]]
* [[Модулярна група]]
* <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> [[Перетворення Мебіуса|(Перетворення Мебіуса)]]
* [[Проєктивне перетворення]]
* [[Група Фукса]]
* {{нп|Таблиця груп Лі|Таблиця груп Лі||Table of Lie groups}}
* [[Дифеоморфізм Аносова]]

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Література ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{статья
|автор=Valentine Bargmann
|ref=Bargmann
|mr=0021942
|заглавие=Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group
|издание=Annals of Mathematics
|том=48
|выпуск=3
|год=1947
|страницы=568–640
|jstor=1969129
|doi=10.2307/1969129
}}
* {{статья
|автор=Гельфанд И.М., Наймарк М.А.
|заглавие=Унитарные представления группы Лоренца
|издание= Изв. АН СССР. Сер. Матем.
|том=11
|год=1947
|выпуск=5
|страницы=411–504
}}
* {{статья
|автор=Harish-Chandra
|ref=Harish-Chandra
|заглавие=Plancherel formula for the <math>2 \times 2</math> real unimodular group
|издание=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
|том=38
|год=1952
|страницы=337–342
|mr=0047055
|pmc=1063558
|doi=10.1073/pnas.38.4.337
|pmid=16589101
}}
* {{книга
|автор=Ленг С.
|заголовок=<math>\operatorname{SL_2(R)}</math>
|відповідальний=Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова
|видаництво=«Мир»
|місце=Москва
|рік=1977
}}
{{refend}}
[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Групи Лі]]