Перегляд вихідного коду сторінки PSL(2,7)

{{Теорія груп|expanded=Finite}}
У [[Математика|математиці]] [[Проєктивна група|проєктивна спеціальна лінійна група]] '''PSL(2,7)''' (ізоморфна '''GL(3,2)''')&nbsp;— [[Скінченна група|скінченна]] [[проста група]], що має важливі застосування в [[Алгебра|алгебрі]], [[Геометрія|геометрії]] та [[Теорія чисел|теорії чисел]]. Вона є [[Автоморфізм|групою автоморфізмів]] {{Не перекладено|Квартика Кляйна|квартики Кляйна||Klein quartic}}, а також [[Групи симетрії|групою симетрії]] [[Площина Фано|площини Фано]]. Маючи 168 елементів, PSL(2,7) є другою за величиною з найменших [[Абелева група|неабелевих]] [[Проста група|простих груп]] (першою є [[знакозмінна група]] ''A''<sub>5</sub>, яка має 60 елементів&nbsp;— [[група обертань]] [[Ікосаедрична симетрія|ікосаедричної симетрії]]).

== Визначення ==
[[Загальна лінійна група|Повна лінійна група]] GL(2,7) складається з усіх оборотних 2×2-[[Матриця (математика)|матриць]] над '''F'''<sub>7</sub>, [[Поле Галуа|скінченним полем]] із семи елементів, тобто таких, що мають ненульові [[визначник]]и. [[Підгрупа]] SL(2,7) складається з усіх матриць з одиничним визначником. Таким чином, PSL(2,7)&nbsp;— [[фактор-група]]: SL(2,7)/{I, −I},

отримана ототожненням I та -I, де ''I''&nbsp;— [[одинична матриця]]. У цій статті ми маємо на увазі під ''G'' будь-яку групу, ізоморфну PSL(2,7).

== Властивості ==
''G'' = PSL(2,7) має 168 елементів. Це можна побачити, полічивши можливі стовпці. Є 7<sup>2</sup>'''&nbsp;'''−'''&nbsp;'''1'''&nbsp;'''='''&nbsp;'''48 можливих перших стовпців, 7<sup>2</sup>'''&nbsp;'''−'''&nbsp;'''7'''&nbsp;'''='''&nbsp;'''42 можливих других стовпців. Щоб досягти рівності визначника одиниці, слід поділити на 7'''&nbsp;'''−'''&nbsp;'''1'''&nbsp;'''='''&nbsp;'''6, а потім поділити на 2, щоб ототожнити I та −I. Результат дорівнює (48×42)/(6×2)'''&nbsp;'''='''&nbsp;'''168.

Загальновідомо, що PSL(''n'',''q'') є [[Проста група|простою]] для ''n'', ''q'''&nbsp;'''''≥'''''&nbsp;'''''2 (де ''q''&nbsp;— певний [[степінь простого числа]]), якщо не (''n'',''q'')'''''&nbsp;'''''='''''&nbsp;'''''(2,2) або (2,3). PSL(2,2) [[Ізоморфізм груп|ізоморфна]] [[Симетрична група|симетричній групі]] ''S''<sub>3</sub> і PSL(2,3) ізоморфна [[Знакозмінна група|знакозмінній групі]] ''A''<sub>4</sub>. Фактично, PSL(2,7) є другою за величиною з [[Абелева група|неабелевих]] простих груп після [[Знакозмінна група|знакозмінної групи]] A<sub>5'''''&nbsp;'''''</sub>='''''<sub>&nbsp;</sub>'''''PSL(2,5)'''''<sub>&nbsp;</sub>'''''='''''<sub>&nbsp;</sub>'''''PSL(2,4).

Число [[Клас спряженості|класів спряженості]] та кількість [[Незвідне представлення|незвідних представлень]] дорівнює 6. Число класів дорівнює 1, 21, 42, 56, 24, 24. Розмірності незвідних подань дорівнюють 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблиця характерів

: <math>\begin{array}{r|cccccc}
     & 1A_{1} & 2A_{21} & 4A_{42} & 3A_{56} & 7A_{24} & 7B_{24} \\ \hline
\chi_1 &  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
\chi_2 &  3 & -1 & 1 & 0 & \sigma & \bar \sigma \\ 
\chi_3 &  3 & -1 & 1 & 0 & \bar \sigma & \sigma \\ 
\chi_4 &  6 & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 
\chi_5 &  7 & -1 &-1 & 1 & 0 & 0 \\ 
\chi_6 &  8 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 
\end{array},</math>

де:

: <math>\sigma = \frac{-1+i\sqrt{7}}{2}.</math>

Нижче в таблиці описано класи спряженості в термінах порядку елементів у класах, числа класів, [[Мінімальний многочлен (теорія полів)|мінімальний многочлен]] [[Мінімальний многочлен (теорія полів)|усіх представлень]] у GL(3,2) та запис функції для представлення в PSL(2,7).
{| class="wikitable sortable"
!Порядок
! Розмір
! Мінімальний многочлен
! Функція
|-
| 1
| 1
| ''x''+1
| ''x''
|-
| 2
| 21
| ''x''<sup>2</sup>+1
| −1/''x''
|-
| 3
| 56
| ''x''<sup>3</sup>+1
| 2''x''
|-
| 4
| 42
| ''x''<sup>3</sup>+''x''<sup>2</sup>+''x''+1
| 1/(3−''x'')
|-
| 7
| 24
| ''x''<sup>3</sup>+''x''+1
| ''x''+1
|-
| 7
| 24
| ''x''<sup>3</sup>+''x''<sup>2</sup>+1
| ''x''+3
|}
Порядок групи дорівнює 168 = 3·7·8, звідки випливає існування [[Теореми Силова|підгруп Силова]] порядків 3, 7 і 8. Легко описати перші дві&nbsp;— вони циклічні, оскільки [[Циклічна група|будь-яка група з простим порядком циклічна]]. Будь-який елемент класу спряженості 3''A''<sub>56</sub> утворює силовську 3-підгрупу. Будь-який елемент класів спряженості 7''A''<sub>24</sub>, 7''B''<sub>24</sub> утворює силовську 7-підгрупу. Силовська 2-підгрупа є [[Діедральна група|діедральною групою порядку 8]]. Її можна описати як [[Центр групи|централізатор]] будь-якого елемента класу спряженості 2''A''<sub>21</sub>. У поданні GL(3,2) силовська 2-підгрупа складається з верхніх трикутних матриць.

Ця група та її силовська 2-підгрупа дають контрприклад для різних теорем про {{Не перекладено|нормальне p-доповнення||en|normal p-complement}} для ''p'' = 2.

== Дії на проєктивні простори ==
''G''=PSL(2,7) діє за допомогою [[Перетворення Мебіуса|дробово-лінійного перетворення]] на [[Проективна пряма|проєктивну пряму]] '''P'''<sup>1</sup>(7) над полем зі 7 елементів: Для <math> \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mbox{PSL(2, 7)}</math> і <math> x \in \mathbf{P}^1(7),\ \gamma \cdot x = \frac{ax+b}{cx+d}</math>

Кожен автоморфізм прямої '''P'''<sup>1</sup>(7), що зберігає орієнтацію, виходить таким способом, а тоді, ''G''=PSL(2,7) можна розуміти геометрично як групу симетрій проєктивної прямої '''P'''<sup>1</sup>(7). Повна група можливих автоморфізмів, що зберігають орієнтацію, є розширенням порядку 2 групи PGL(2,7) і група {{Не перекладено|Колінеація|колінеацій|en|collineation}} проєктивної прямої є повною [[Симетрична група|симетричною групою]] точок.

Однак PSL(2, 7) також [[Ізоморфізм груп|ізоморфна]] групі PSL(3,2) (='''''<sub>&nbsp;</sub>'''''SL(3,2)'''''<sub>&nbsp;</sub>'''''= GL(3,2)), спеціальній (загальній) лінійній групі 3×3 матриць над полем із 2 елементами. Подібно ''G'''<sub>&nbsp;</sub>'''''='''<sub>''&nbsp;''</sub>'''PSL(3,2) діє на [[Проєктивна площина|проєктивну площину]] '''P'''<sup>2</sup>(2) над полем з 2 елементами, відому також як [[площина Фано]]: Для <math>\gamma = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mbox{PSL}(3, 2)</math> і <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbf{P}^2(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} ax+by+cz \\ dx+ey+fz \\ gx+hy+iz \end{pmatrix}</math>

Знову в такий спосіб виходить будь-який автоморфізм '''P'''<sup>2</sup>(2), тоді ''G'''''<sub>''&nbsp;''</sub>'''='''<sub>''&nbsp;''</sub>'''PSL(3,2) можна геометрично розуміти як [[Симетрична група|групу симетрії]] цієї проєктивної площини. [[Площина Фано|Площину Фано]] можна описати як добуток [[октоніон]]ів.

== Симетрії квартики Кляйна ==
[[Файл:Uniform_tiling_73-t0.png|міні|{{Не перекладено|Квартика Кляйна|Квартику Кляйна|en|Klein quartic}} можна реалізувати як [[фактор-простір]] [[Семикутна мозаїка|семикутної мозаїки]] порядку 3]]
[[Файл:Uniform_tiling_73-t2.png|міні|{{Не перекладено|Квартика Кляйна|Квартику Кляйна|en|Klein quartic}} можна також реалізувати як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3]]
{{Не перекладено|Квартика Кляйна|||Klein quartic}}&nbsp;— проєктивний [[многовид]] над [[Комплексне число|комплексними числами]] '''C''', визначений многочленом четвертого степеня

: ''x''<sup>3</sup>''y'' + ''y''<sup>3</sup>''z'' + ''z''<sup>3</sup>''x'' = 0.

Він є компактною [[Ріманова поверхня|рімановою поверхнею]] роду g'''<sub>''&nbsp;''</sub>'''='''<sub>''&nbsp;''</sub>'''3 і є єдиною такою поверхнею, для якої розмір конформної групи автоморфізмів досягає максимуму 84(''g''−1). Ця межа виникає внаслідок {{Нп|Теорема Гурвіца про автоморфізми|теореми Гурвіца про автоморфізми|en|Hurwitz's automorphisms theorem}}, яка виконується для всіх ''g''>1. Такі «[[Поверхня Гурвіца|поверхні Гурвіца]]» рідкісні. Наступний рід, для якого така поверхня існує, це ''g''=7, а наступний після нього&nbsp;— ''g''=14.

Як і для всіх поверхонь Гурвіца, квартикам Кляйна можна задати метрику [[Метрика Пуанкаре|сталої від'ємної кривини]] і потім замостити [[Правильний многокутник|правильними]] (гіперболічними) [[семикутник]]ами, як фактор-простір [[Семикутна мозаїка|семикутної мозаїки]] порядку 3. Для квартики Кляйна це дає мозаїку з 24 семикутників. Двоїсто, її можна замостити 56 рівносторонніми трикутниками з 24 вершинами, кожна 7-го порядку, як фактор-простір {{Не перекладено|Трикутна мозаїка порядку 7|трикутної мозаїки порядку 7|en|order-7 triangular tiling}}.

Квартика Кляйна виникає в багатьох галузях математики, таких як теорія представлень, теорія гомологій, множення октоніонів, [[велика теорема Ферма]].

== Група Матьє ==
{{Докладніше|Група Матьє}}
PSL(2,7) є максимальною підгрупою [[Група Матьє|групи Матьє]] M<sub>21</sub>. Групи Матьє M<sub>21</sub> і M<sub>24</sub> можна побудувати як розширення PSL(2,7). Ці розширення можна інтерпретувати в термінах мозаїк квартики Кляйна, але не можна реалізувати геометричними симетріями мозаїк{{Sfn|Richter}}.

== Дії групи ==
PSL(2,'''<sub>''&nbsp;''</sub>'''7) діє на різні множини:

* Якщо інтерпретувати її як лінійні автоморфізми проєктивної прямої над '''F'''<sub>7</sub>, вона діє 2-транзитивно на множину з 8 точок зі стабілізатором порядку 3. (PGL(2,7) діє строго 3-транзитивно з тривіальним стабілізатором.)
* Якщо інтерпретувати її як автоморфізми мозаїки квартики Кляйна, вона діє транзитивно на 24 вершини (або, двоїсто, на 24 семикутники) зі стабілізатором порядку 7 (що відповідає обертанню навколо вершини/семикутника).
* Якщо інтерпретувати її як підгрупу групи Матьє M<sub>21</sub>, що діє 21 точку, вона діє транзитивно на 21 точку.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
{{Refbegin}}
* {{Стаття|ref=Richter|author=David A. Richter|url=http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm|title=How to Make the Mathieu Group M<sub>24</sub>}}
{{Refend}}

* {{Стаття|author=Ezra Brown, Nicholas Loehr|title=Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?|видання=Am. Math. Mon.|том=116|issue=8|pages=727–732|рік=2009|doi=10.4169/193009709X460859|url=http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/PSL%282,7%29_GL%283,2%29.pdf}}

== Посилання ==
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/ The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/week214.html This Week's Finds in Mathematical Physics&nbsp;— Week 214 (John Baez)]
* [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/elkies.pdf The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)]
* [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2) Projective special linear group: PSL(3,2)]

[[Категорія:Проєктивна геометрія]]
[[Категорія:Скінченні групи]]