Перегляд вихідного коду сторінки PG(3,2)

[[Файл:Fano3space.png|міні| PG(3,2), намальований у вигляді тетраедра (див. текст)]]
'''PG(3,2)'''&nbsp;— це найменший тривимірний [[проєктивний простір]], який можна розглядати як розширення [[Площина Фано|площини Фано]]. Простір має 15 точок, 35 прямих та 15 площин{{Sfn|Meserve|1983|с=29}}. Ще він має такі властивості{{Sfn|Polster|1998|с=69}}:

* Кожна точка належить 7 прямим та 7 площинам
* Кожна пряма міститься у 3 площинах та містить 3 точки
* Кожна площина містить 7 точок та 7 прямих
* Кожна площина [[Ізоморфізм|ізоморфна]] площині Фано
* Будь-яка пара різних площин перетинаються по прямій
* Пряма і площина, що не містить прямої, мають рівно одну спільну точку

== Побудова з ''K''<sub>6</sub> ==
Візьмемо [[повний граф]] ''K<sub>6</sub>.'' Він має 15 ребер, 15 [[Парування (теорія графів)|досконалих парувань]] та 20 трикутників. Створимо точку для кожного з 15 ребер та ребро для кожного з 20 трикутників та 15 парувань. [[Структура інцидентності]] між кожним трикутником або паруванням (прямою) з ребрами (точками), що їх утворюють, породжує PG(3,2){{Sfn|Sylvester|1879}}.

== Побудова з площин Фано ==
Візьмемо площину Фано і використаємо всі 5040 перестановок її 7 точок. Відкинемо дублювання площин, щоб отримати набір із 30 різних площин Фано. Виберемо будь-які 30 і візьмемо інші 14, які мають рівно одну спільну пряму з першим набором, не 0 і не 3. [[Структура інцидентності]] між 1+14 = 15 площинами і 35 трикутниками, які попарно перекривають, породжує PG(3,2){{Sfn|Polster|1998|с=77}}.

== Малюнок у вигляді тетраедра ==
PG(3,2) можна подати як [[Чотиригранник|тетраедр]]. 15 точок відповідають 4 вершинам + 6 серединам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тіла. 35 прямих відповідають 6 ребрам + 12 медіанам граней + 4 вписаним колам граней + 4 висотам на грань із протилежної вершини + 3 прямим, що з'єднують середні точки протилежних ребер + 6 еліпсів, що з'єднують середину кожного ребра з його центрами несусідніх граней. 15 площин складаються з 4 граней + 6 «середніх» площин, що з'єднують кожне ребро з серединою протилежного ребра + 4 «конуси», що з'єднують кожну вершину зі вписаним колом протилежної грані + одна «сфера» з 6 центрами ребер і центром тіла{{Sfn|Polster|1998|с=82—83}}.

== Квадратне подання ==
[[Файл:150614-PG-3-2-schoolgirls-arrangement.png|міні| Квадратна модель 3-вимірного простору Фано]]
35 прямих можна подати як [[Бієкція|бієкцію]] з 35 способами розбиття 4x4 ґратки на 4 ділянки по 4 комірки в кожній, якщо ґратка представляє [[афінний простір]], а ділянки є 4 паралельними площинами.

[[Блок-схема (математика)|Блок-схема]] 3-(16,4,1) має 140 блоків розміру 4 на 16 точках, так що кожна трійка точок покрита рівно один раз. Виберемо будь-яку окрему точку, візьмемо 35 блоків, що містять цю точку та видалимо точку. 35 блоків розміру 3, що залишилися, утворюють PG(3,2) на 15 точках, що залишилися.

== Задача Кіркмана про школярок ==
{{Докладніше|Задача Кіркмана про школярок}}
PG(3,2) виникає у деяких розв'язках [[Задача Кіркмана про школярок|задачі Кіркмана про школярок]]. Два неізоморфні розв'язки цієї задачі можна вкласти як структури у 3-вимірний простір Фано. Зокрема, ''[[Розшарування (топологія)|розшарування]]'' PG(3,2) є розкладом точок на прямі, що не перетинаються, і відповідає розподілу дівчаток (точок) на неперетинні рядки (прямі) для одного дня завдання Кіркмана про школярок. Є 56 різних розшарувань по 5 прямих у кожному. ''Пако́вання''{{Уточнити}} PG(3,2)&nbsp;— це розбиття 35 прямих на 7 шарів, що не перетинаються, по 5 прямих у кожному шарі і воно відповідає розв'язку для всіх семи днів. Є 240 паковань PG(3,2), які розпадаються на два класи суміжності по 120 паковань під дією PGL(4,2) (групи колінеацій простору). Колінеації переставляють ці два класи{{Sfn|Hirschfeld|1985|с=73}}.

== Мереживний малюнок ==
[[Файл:GQ(2,2).svg|міні| Мереживний малюнок. Його використовують також для подання [[Сильно регулярний граф|регулярного графа]] srg(15,6,1,3), намальованого з накладенням ребер.]]
Мереживний малюнок, який часто використовують для подання [[Узагальнений чотирикутник|узагальненого чотирикутника]] GQ(2,2), використовують також і для подання PG(3,2){{Sfn|Polster|1998|с=69}}.

== Автоморфізми ==
[[Автоморфізм|Група автоморфізмів]] простору PG(3,2) відображає прямі в прямі. Число автоморфізмів визначається кількістю способів вибору 4 некопланарних точок. Це приводить до 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8!/2. Виявляється, що група автоморфізмів PG(3,2) ізоморфна [[Знакозмінна група|знакозмінній групі]] на 8 елементах A<sub>8</sub>.

== Координати ==
Відомо, що PG(''n'',2) можна задати у вигляді координат (GF(2))<sup>''n'' + 1</sup>, тобто бітовим рядком довжини ''n'' + 1. PG(3,2) можна подати у вигляді координат з 4-бітовими рядками. Звичайним відображенням для вершин є відображення, в якому рядки мають {{Не перекладено|Вага Геммінга|ваги Геммінга|en|Hamming weight}} 1, такі як 0001, 0010 і так далі, інші ж точки отримуємо операцією XOR. Тоді середини ребер мають вагу Геммінга 2, центри граней мають вагу Геммінга 3, а центр тіла має вагу Геммінга 4.

Крім того, прямим, що з'єднують точки <math>(a_1, a_2, a_3, a_4)</math> і <math>(b_1, b_2, b_3, b_4)</math>, можна природно призначити [[плюккерові координати]] <math>(p_{12}, p_{13}, p_{14}, p_{23}, p_{24}, p_{34})</math>, де <math>p_{ij} = a_ib_j - a_jb_i</math>, а координати прямої задовольняють умові <math>p_{12}p_{34} + p_{13}p_{24} + p_{14}p_{23} = 0</math>. Кожна пряма у проєктивному 3-вимірному просторі має шість координат і її можна подати як точку в проєктивному 5-вимірному просторі. Точки лежать на поверхні <math>p_{12}p_{34} + p_{13}p_{24} + p_{14}p_{23} = 0</math>.

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Стаття|title=Note on Determinants and Duadic Synthemes|author=Sylvester J. J.|ref=Sylvester|рік=1879}}
* {{Книга
|автор = Bruce E. Meserve
|ref = Meserve
|заголовок = Fundamental Concepts of Geometry
|рік = 1983
|видавництво = Dover
|ISBN = 0-486-63415-9
}} Перше видання 1955
* {{Книга
|заголовок = Finite Projective Spaces of Three Dimensions
|посилання = https://archive.org/details/finiteprojective0000hirs
|ref = Hirschfeld
|автор = Hirschfeld J. W. P.
|видавництво = [[Oxford University Press]]
|рік = 1985
|ISBN = 0-19-853536-8
}}
* {{Книга
|ref = Polster
|автор = Burkard Polster
|рік = 1998
|заголовок = A Geometrical Picture Book
|посилання = https://archive.org/details/geometricalpictu0000pols
|видавництво = Springer
|ISBN = 978-0-387-98437-7
}}
{{Refend}}
[[Категорія:Геометрія інцидентності]]
[[Категорія:Скінченна геометрія]]
[[Категорія:Проєктивна геометрія]]