Перегляд вихідного коду сторінки L-момент

{{автопереклад|дата=липень 2017}}
У статистиці, '''L-моменти''' є послідовність статистик для узагальнення форми розподілу ймовірностей. Вони є лінійними комбінаціями порядкових статистик (L-статистики), аналогічних звичайних моментів, і можуть бути використані для розрахунку величин, аналогічні стандартним відхиленням, асиметричності і ексцесу, званий L-шкали, L-асиметрію і L-ексцес відповідно (L-середні ідентичний звичайному середньому). Стандартизовані L-моменти називаються відносини L-момент і аналогічні стандартизованим моментам. Так само, як і для звичайних моментів, теоретичне розподіл має безліч популяцій L-моментів. Приклади L-моменти можуть бути визначені для вибірки з населення, і можуть бути використані як оцінки населення L-моментів

== Населення L-моменти ==
Для випадкової величини ''X'', ''r''-й популяційий L-момент є
<ref name="hos:90">{{cite journal|last=Hosking|first=J.R.M.|year=1990|title=L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-royal-statistical-society-series-b_1990_52_1/page/105|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=52|pages=105&ndash;124|jstor=2345653}}</ref>
: <math>
\lambda_r = r^{-1} \sum_{k=0}^{r-1} {(-1)^k \binom{r-1}{k} \mathrm{E}X_{r-k:r}},
</math>
де <math>X_{k:n}</math> позначає порядкову статистику (''k''-е найменше значення) в незалежній вибірці обсягу ''n'' з розподілу ''X'' і <math>\mathrm{E}</math> позначає очікуване значення. Зокрема, перші чотири популяційні L-моменти є
: <math>
\lambda_1 = \mathrm{E}X
</math>

: <math>
\lambda_2 = (\mathrm{E}X_{2:2} - \mathrm{E}X_{1:2})/2
</math>

: <math>
\lambda_3 = (\mathrm{E}X_{3:3} - 2\mathrm{E}X_{2:3} + \mathrm{E}X_{1:3})/3
</math>

: <math>
\lambda_4 = (\mathrm{E}X_{4:4} - 3\mathrm{E}X_{3:4}  + 3\mathrm{E}X_{2:4} - \mathrm{E}X_{1:4})/4.
</math>
Відзначимо, що коефіцієнти ''k''-го L-моменту такі ж, як в ''k''-го члена бінома перетворення, як він використовується в кінцевих різницях ''k''-го порядку (кінцева аналогового до похідної).

Перші два з цих L-моментів мають звичайні назви :
: <math>\lambda_1 = \text{mean, L-mean or L-location},</math>
: <math>\lambda_2 = \text{L-scale}.</math>
L-шкала дорівнює половині різниці середніх.
<ref name="jones:02">{{cite journal|last=Jones|first=M.C.|title=Student's Simplest Distribution|journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series D]]|year=2002|volume=51|issue=1|pages=41–49|jstor=3650389|doi=10.1111/1467-9884.00297}}</ref>

== Зразки L-моментів ==
<math>\left\{ x_1 < \cdots < x_j < \cdots < x_r \right\},</math> отже, в середньому шляхом ділення біноміального коефіцієнта:
: <math>
\lambda_r = r^{-1}{\tbinom{n}{r}}^{-1} \sum_{x_1 < \cdots < x_j < \cdots < x_r} {(-1)^{r-j} \binom{r-1}{j} x_j}.
</math>
Угруповання цих статистик підраховує число способів елемент зразка n-елемента може бути -я елементом jth елемента підмножини, і дає формули за допомогою наступної форми. Прямі оцінок для перших чотирьох L-моментів в кінцевій вибірці з n спостережень:
<ref name="wang:96">{{cite journal|last=Wang|first=Q. J.|title=Direct Sample Estimators of ''L'' Moments|journal=Water Resources Research|year=1996|volume=32|issue=12|pages=3617–3619|doi=10.1029/96WR02675}}</ref>
: <math>\ell_1 = {\tbinom{n}{1}}^{-1} \sum_{i=1}^n x_{(i)}</math>
: <math>\ell_2 = \tfrac{1}{2} {\tbinom{n}{2}}^{-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \tbinom{i-1}{1} - \tbinom{n-i}{1} \right\} x_{(i)}</math>
: <math>\ell_3 = \tfrac{1}{3} {\tbinom{n}{3}}^{-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \tbinom{i-1}{2} - 2\tbinom{i-1}{1}\tbinom{n-i}{1} + \tbinom{n-i}{2} \right\} x_{(i)}</math>
: <math>\ell_4 = \tfrac{1}{4} {\tbinom{n}{4}}^{-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \tbinom{i-1}{3} - 3\tbinom{i-1}{2}\tbinom{n-i}{1} + 3\tbinom{i-1}{1}\tbinom{n-i}{2} - \tbinom{n-i}{3} \right\} x_{(i)}</math>
де {{Math|''x''<sub>(''i'')</sub>}}&nbsp;— {{Math|''i''}}thстосовно статистиці<math>\tbinom{\cdot}{\cdot}</math>&nbsp;— біноміальний коефіцієнт. Приклади L-моментів можуть бути також визначені непрямим чином з точки зору ймовірності зважених моментів, що призводить до більш ефективного алгоритму для їх обчислення.<ref name="wang:96"/><ref>{{Citation|title=L Moments|date=6 січня 2006|url=http://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm|accessdate=5 грудня 2016|archive-date=13 грудня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161213013610/http://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm}} NIST Dataplot documentation</ref>

== Коефіцієнти L-моментів ==
Набір L-моментів або масштабованих L-моментів, визначається
: <math>\tau_r = \lambda_r / \lambda_2, \qquad r=3,4, \dots. </math>
Найбільш корисний з таких&nbsp;— <math>\tau_3</math>, називається ''L- асиметрією'', та <math>\tau_4</math>, називається ''L- ексцес''.

Коефіцієнти L-моментів лежать в інтервалі (–1, 1). Жорсткість оцінки можна знайти для деяких певних співвідношеннях L-момент; зокрема, L-ексцес <math>\tau_4</math> який лежить в [-¼,1), та
: <math>\tfrac{1}{4}(5\tau_3^2-1) \leq \tau_4 < 1.</math><ref name="hos:90"/>
Величина, аналогічно коефіцієнту варіації, але на основі L-моментів, також можуть бути визначені:
<math>\tau = \lambda_2 / \lambda_1, </math> які називаються «коефіцієнт L-варіації», або «L-CV». Для невід'ємної випадкової величини, це лежить в інтервалі (0,1) і ідентично коефіцієнту Джині.

== Пов'язані з нею величини ==
L-моменти статистичні величини, отримані з імовірнісних зважених моментів (PWM), які були визначені раніше (1979). PWM використовуються для ефективної оцінки параметрів розподілів в спеціальній зворотній формі, такій як Gumbel, Tukeyi розподілів Wakeby

== Використання ==
Є два найпоширеніші способи, які використовуються в L-моментах, в обох випадках за аналогією зі звичайними моментами:
# Як статистики для даних.
# Для отримання оцінок параметрів імовірнісних розподілів, застосовуючи метод моментів до L-моментів, а не звичайних моментів.
На додаток до виконання цих стандартних моментів, останній (оцінка) частіше робиться з використанням максимальних методів правдоподібності; Однак за допомогою L-моментів забезпечує ряд переваг. Зокрема, L-моменти є більш надійними, ніж звичайні моменти, і існування вищих L-моментів вимагає тільки те, що випадкова величина має кінцеве середнє. Одним з недоліків співвідношення L-моментів для оцінкою їх зазвичай менша чутливість. Наприклад, розподіл Лапласа має ексцес 6 і слабкі експоненційні краї, а співвідношення L-момент більше, ніж 4-е, наприклад, розподіл студентів з радіопеленгованія = 3, які мають нескінченний ексцес і набагато важчі край.

Як приклад розглянемо набір даних з декількома точками даних і одного віддаленого значення даних. Якщо звичайний стандартне відхилення цього набору даних буде прийматися під сильним впливом цієї однієї точки: Однак, якщо L-масштаб буде братися менш чутливо до цього значення даних. Отже, L-моменти є більш значущими при розгляді випадають в даних, ніж звичайні моменти. Проте, є й інші, краще відповідні методи для досягнення вищої надійності, ніж просто замінюючи моменти на L-моменти. Одним із прикладів цього, є використання L-моментів, як зведені статистичні дані в теорії екстремальних значень (EVT). Ця програма показує обмежену стійкість L-моментів, тобто L-статистичні дані не є стійкими до статистики том як одне екстремальне значення може збити їх, тому, що вони є тільки лінійні (статистика не високого порядку), вони менш схильні до екстремальних значення, ніж звичайні моменти.

Ще одна перевага L-моментів в порівнянні зі звичайними моментами є те, що їх існування вимагає тільки випадкової величини, щоб мати кінцеве середнє, так що існують L-моменти, навіть якщо вищі звичайні моменти не існують (наприклад, для розподілу студента з низьким ступенем свободи). Кінцева дисперсія додатково необхідна для того, щоб стандартні помилки оцінок L-моментів були кінцевими.<ref name="hos:90"/>

Деякі виступи L-моментів у статистичній літературі включають в книзі Девіда і Нагараджа (2003, розділ 9.9), а також ряд документів. Ряд сприятливих порівнянь L-моментів зі звичайними моментами були зареєстровані.<ref>{{Cite document|last=Royston|first=P.|year=1992|title=Which measures of skewness and kurtosis are best?|journal=[[Statistics in Medicine (journal)|Statistics in Medicine]]|issue=3|pages=333–343|volume=11|doi=10.1002/sim.4780110306|DOI=10.1002/sim.4780110306}}</ref><ref>{{Cite document|last=Ulrych|last2=Velis|last3=Woodbury|last4=Sacchi|first=T. J.|first2=D. R.|first3=A. D.|first4=M. D.|year=2000|title=L-moments and C-moments|journal=Stochastic Environmental Research and Risk Assessment|issue=1|pages=50–68|volume=14|doi=10.1007/s004770050004|DOI=10.1007/s004770050004}}</ref>

== Значення для деяких загальних розподілів ==
У таблиці нижче наведені вирази для перших двох L-моментів і чисельних значень перших двох L-моментів співвідношень деяких загальних безперервних імовірнісних розподілів з постійними коефіцієнтами L-моментів. Більш складні отримані вирази для деяких додаткових розподілів, для яких коефіцієнти L миттю змінюються з одним або декількома з дистрибутивних параметрів, в тому числі логарифмічно нормального, гамма, узагальнення паретовського, генералізовані екстремальних значень і узагальнених логістичних розподілів.
<ref name="hos:90"/>
{| class="wikitable sortable" style="text-align: center; font-family: serif; margin-bottom: 57px;"
! style="font-family:sans-serif;" | розподіл
! class="unsortable" style="font-family: sans-serif;" |Параметри
! class="unsortable" style="font-family: sans-serif;" |значення, {{Math|''λ''<sub>1</sub>}}
! class="unsortable" style="font-family:sans-serif;" | L-масштаб, {{Math|''λ''<sub>2</sub>}}
! style="font-family:sans-serif;" | L-асиметрія, {{Math|''τ''<sub>3</sub>}}
! style="font-family:sans-serif;" | L-ексцес, {{Math|''τ''<sub>4</sub>}}
|-
! style="font-family:sans-serif;" | [[Неперервний рівномірний розподіл|форма]]
| ''a'', ''b''
|(''a''+''b'') / 2
| (''b''–''a'') / 6
| align="right" | 0
| align="right" | 0
|-
! style="font-family: sans-serif;" |логістика
| ''μ'', ''s''
| ''μ''
| ''s''
| align="right" | 0
| align="right" | 0.1667 !<span class="sorttext" id="cxmwuA" tabindex="0"><sup>1</sup><big>⁄</big><sub>6</sub> = 0.1667</span>
|-
! style="font-family:sans-serif;" | [[Нормальний розподіл|середнє значення]]
| ''μ'', ''σ''<sup>2</sup>
| ''μ''
| ''σ'' / √π
| align="right" | 0
| align="right" | 0.1226
|-
! style="font-family:sans-serif;" | [[Розподіл Лапласа|Лаплас]]
| ''μ'', ''b''
| ''μ''
| 3''b'' / 4
| align="right" | 0
| align="right" | 0.2357 !<span class="sorttext" id="cxmw0w" tabindex="0">1 / (3√2) = 0.2357</span>
|-
! style="font-family:sans-serif;" | [[T-розподіл Стьюдента|Student's ''t'']], 2 d.f.
| ''ν'' = 2
| 0
| ''π''/2<sup>3/2</sup> = 1.111
| align="right" | 0
| align="right" | 0.375 !<span class="sorttext" id="cxmw4g" tabindex="0"><sup>3</sup><big>⁄</big><sub>8</sub> = 0.375</span>
|-
! style="font-family:sans-serif;" | [[T-розподіл Стьюдента|Student's ''t'']], 4 d.f.
| ''ν'' = 4
| 0
| 15''π''/64 = 0.7363
| align="right" | 0
| align="right" | 0.2168 !<span class="sorttext" id="cxmw8A" tabindex="0">111/512 = 0.2168</span>
|-
! style="font-family: sans-serif;" |показники
|''λ''
| 1 / ''λ''
| 1 / (2''λ'')
| align="right" | 0.3333 !<span class="sorttext" id="cxmw_A" tabindex="0"><sup>1</sup><big>⁄</big><sub>3</sub> = 0.3333</span>
| align="right" | 0.1667 !<span class="sorttext" id="cxmw_w" tabindex="0"><sup>1</sup><big>⁄</big><sub>6</sub> = 0.1667</span>
|-
! style="font-family:sans-serif;" | Гамбел
| ''μ'', ''β''
| ''μ'' + ''[[Стала Ейлера—Маскероні|γ]]β''
| ''β'' log 2
| align="right" | 0.1699
| align="right" | 0.1504
|}
Позначення параметрів кожного розподілу є таким же, що і в пов'язаній статті. У вираженні для середнього значення розподілу Гумбеля, γ є Euler-Mascheroni константа 0,57721 ….

== Розширення ==
Обрізані L-моменти є узагальненням L-моментів, які дають нульову вагу до екстремальних спостереженнями. Таким чином, вони більш стійкі до наявності викидів, і на відміну від L-моментів вони можуть бути чітко визначені для розподілів, для яких середнє значення не існує, таких як розподіл Коші.
<ref>{{Cite document|last=Elamir|last2=Seheult, Allan H.|author2=Seheult, Allan H.|first=Elsayed A. H.|year=2003|title=Trimmed L-moments|journal=Computational Statistics & Data Analysis|issue=3|pages=299–314|volume=43|doi=10.1016/S0167-9473(02)00250-5|DOI=10.1016/S0167-9473(02)00250-5}}</ref>

== Див. також ==
* [[L-оцінювач]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [http://www.research.ibm.com/people/h/hosking/lmoments.html The L-moments page] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090713163252/http://www.research.ibm.com/people/h/hosking/lmoments.html |date=13 липня 2009 }} Jonathan R.M. Hosking, IBM Research
* [http://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm L Moments.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161213013610/http://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/lmoment.htm |date=13 грудня 2016 }} Dataplot reference manual, vol. 1, auxiliary chapter. [[Національний інститут стандартів і технології|National Institute of Standards and Technology]], 2006. Accessed 2010-05-25.

[[Категорія:Момент (математика)]]
[[Категорія:Зведена статистика]]