Перегляд вихідного коду сторінки J-інваріант

{{DISPLAYTITLE:j-invariant}}
[[Файл:KleinInvariantJ.jpg|праворуч|міні|200x200пкс|{{mvar|j}}-інваріант]]

'''''j''-інваріант [[Фелікс Кляйн|Кляйна]]''' або '''j-функція Кляйна''' — функція [[Комплексне число|комплексної змінної]] ''τ'', що є [[Модулярна форма|модулярною функцією]] для [[Група (математика)|групи]] {{math|SL(2, '''Z''')}} визначеною на [[Верхня півплощина|верхній комплексній півплощині]]. Вона є єдиною такою [[Голоморфна функція|голоморфною]] на [[Півплощина|півплощині]] функцією, що має простий [[Полюс (комплексний аналіз)|полюс]] в каспі на безмежності й значення

: <math>j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right) = 0, \quad j(i) = 1728.</math>

[[Раціональна функція|Раціональні функції]] від {{mvar|j}} теж є модулярними функціями й всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично {{mvar|j}}-інваріант вивчався як параметризація [[Еліптична крива|еліптичних кривих]] над полем {{math|'''C'''}}, але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр.

== Означення ==

Мотивацією для означення {{mvar|j}}-інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна [[еліптична крива]] {{mvar|E}} над полем {{math|'''C'''}} є комплексним [[Тор (геометрія)|тором]] і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в {{math|'''C'''}}. Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені {{math|1}} і деяким {{mvar|τ}} в {{math|'''H'''}} (де {{math|'''H'''}} — [[Верхня півплощина|верхня комплексна півплощина]]). Навпаки, якщо визначити

: <math>\begin{align}
  g_2 &= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4}, \\
  g_3 &= 140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6},
\end{align}</math>

то ця ґратка визначає еліптичну криву над {{math|'''C'''}} задану рівнянням {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} 4''x''<sup>3</sup> − ''g''<sub>2</sub>''x'' - ''g''<sub>3</sub>}}. 

'''{{mvar|j}}-інваріант''' за означенням рівний

: <math>j(\tau) = 1728 \frac{g_2^3}{\Delta}</math>

де ''модулярний дискримінант'' {{math|Δ}} рівний

: <math>\Delta = g_2^3 - 27g_3^2</math>

{{math|Δ}} є модулярною формою ваги, {{math|''g''<sub>2</sub>}} — [[Модулярна форма|модулярною формою]] ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція {{mvar|j}}, є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи {{math|SL(2, '''Z''')}}. {{mvar|j}} є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над {{math|'''C'''}} і комплексними числами.

== Фундаментальний регіон ==
[[Файл:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|міні|400x400пкс|Фундаментальний регіон модулярної групи на [[Півплощина#Комплексні_координати|верхній півплощині]].]]

Перетворення {{math|''τ'' → ''τ'' + 1}} і {{math|''τ'' → -''τ''<sup>−1</sup>}} разом породжують групу, що називається [[Модулярна група|модулярною групою]]. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,

: <math> \tau \mapsto \frac{a\tau + b}{c\tau +d}, \qquad ad-bc =1,</math>

для будь-якого {{mvar|τ}} можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції {{mvar|j}}, що лежить в фундаментальному регіоні для {{mvar|j}}, тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:

: <math>\begin{align}
        |\tau| &\ge 1 \\
  -\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) \le \tfrac{1}{2} \\
  -\tfrac{1}{2} &< \mathfrak{R}(\tau) < 0 \Rightarrow |\tau| > 1
\end{align}</math>

Функція {{math|''j''(''τ'')}} на цьому регіоні приймає кожне значення з {{math|'''C'''}} точно один раз. Тобто для кожного {{mvar|c}} в {{math|'''C'''}}, є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого {{math|''c'' {{=}} ''j''(''τ'')}}. 

Як [[Ріманова поверхня|поверхня Рімана]], фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від {{math|''j''(''τ'')}} тобто {{math|'''C'''(''j'')}}.

== Ряди Фур'є ==
Багато важливих властивостей {{mvar|j}} пов'язані з {{mvar|q}}-розкладом (рядом Фур'є), тобто розкладом в [[ряд Лорана]] щодо змінної {{math|''q'' {{=}} exp(2''πiτ'')}}, що починається як:

: <math>j(\tau) = {1 \over q} + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + \cdots</math>

Зокрема звідси видно, що оскільки {{mvar|j}} має простий полюс в [[Касп|каспі]], то {{mvar|q}}-розклад не має членів степенів нижчих, ніж {{math|''q''<sup>−1</sup>}}.

Асимптотично коефіцієнти біля {{math|''q<sup>n</sup>''}} рівні 

: <math>\frac{e^{4\pi\sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}</math>,

що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.<ref>{{cite book|title=Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen|last=Petersson|first=Hans|year=1932|volume=58|pages=169–215|doi=10.1007/BF02547776|mr=1555346|journal=Acta Mathematica|issue=1}}</ref><ref>{{cite book|title=The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)|last=Rademacher|first=Hans|year=1938|publisher=The Johns Hopkins University Press|volume=60|pages=501–512|doi=10.2307/2371313|jstor=2371313|mr=1507331|journal=American Journal of Mathematics|issue=2}}</ref>

== Альтернативні означення ==
Справедливою є формула

: <math>j(\tau) = \frac{256(1-x)^3}{x^2} </math>

де {{math|''x'' {{=}} ''λ''(1−''λ'')}} і {{mvar|λ}} є модулярною ламбда-функцією

: <math> \lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = k^2(\tau)</math>

часткою [[Тета-функція|тета-функцій Якобі]] <math>\theta_{m}</math>, і квадратом еліптичного модуля <math>k(\tau)</math>.<ref name="C108">Chandrasekharan (1985) p.108</ref> Значення {{mvar|j}} не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:<ref name="C110">{{citation|last=Chandrasekharan|first=K.|title=Elliptic Functions|year=1985|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=281|page=110|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=3-540-15295-4|zbl=0575.33001}}</ref>

: <math>\left\lbrace { \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda } \right\rbrace</math>

== Означення за допомогою ета-функцій ==

Нехай <math>q=e^{\pi i \tau}</math> і [[Тета-функція|тета-функція Якобі]] визначена як

: <math>\vartheta(0; \tau) = \vartheta_{00}(0; \tau) = 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}</math>

і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:

: <math>\begin{align}
  a &= \theta_{2}(0; q) = \vartheta_{10}(0; \tau) \\
  b &= \theta_{3}(0; q) = \vartheta_{00}(0; \tau) \\
  c &= \theta_{4}(0; q) = \vartheta_{01}(0; \tau)
\end{align}</math>

Тоді <math>a^4 - b^4 + c^4 = 0</math> і можна записати

: <math>\begin{align}
  g_2(\tau) &= \tfrac{2}{3}\pi^4 \left(a^8 + b^8 + c^8\right) \\
  g_3(\tau) &= \tfrac{4}{27}\pi^6 \sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}} \\
     \Delta &= g_2^3-27g_3^2 = (2\pi)^{12} \left(\tfrac{1}{2}a b c\right)^8 = (2\pi)^{12}\eta(\tau)^{24}
\end{align}</math>

де ''η''(''τ'') — [[ета функція Дедекінда]]. Тоді ''j''(''τ'') можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:

: <math>j(\tau) = 1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2} = 32 {(a^8 + b^8 + c^8)^3 \over (a b c)^8}</math>

== Алгебраїчне означення<ref>{{Cite book|title=Elliptic functions|last=Lang|first=Serge|year=1987|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|volume=112|location=New-York ect|pages=299-300|isbn=978-1-4612-9142-8|zbl=0615.14018}}</ref> ==
Вище {{mvar|j}} означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай

: <math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>

є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо

: <math>b_2 = a_1^2 + 4a_2,\quad  b_4 = a_1a_3 + 2a_4</math>
: <math>b_6 = a_3^2 + 4a_6,\quad  b_8 = a_1^2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 + 4a_2a_6 - a_4^2</math>
: <math>c_4 = b_2^2 - 24b_4,\quad c_6 = -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6</math>

і

: <math>\Delta = -b_2^2b_8 + 9b_2b_4b_6 - 8b_4^3 - 27b_6^2</math> позначення для дискримінпіпіанта

: <math>j = {c_4^3 \over \Delta}</math>

Якщо поле над яким визначена крива має [[Характеристика (алгебра)|характеристику]] не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як

: <math>j = 1728{c_4^3 \over c_4^3-c_6^2}</math>

== Окремі значення ==
Нижче наведені значення в окремих точках функції <math>J(\tau)\equiv j(\tau)/1728</math> 

<math>\begin{align}
                                      J(i) &= J \left( \tfrac{1 + i}{2} \right) = 1 \\
                   J\left(\sqrt{2}i\right) &= \left(\tfrac{5}{3}\right)^3 \\
                                     J(2i) &= \left(\tfrac{11}{2}\right)^3 \\
                  J\left(2\sqrt{2}i\right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 + 13\sqrt{2} \right)^3\\
                                     J(4i) &= \tfrac{1}{64} \left(724 + 513\sqrt{2} \right)^3\\
         J\left( \tfrac{1 + 2i}{2} \right) &= \tfrac{1}{64} \left(724 - 513\sqrt{2} \right)^3\\
 J\left( \tfrac{1 + 2\sqrt{2}i}{3} \right) &= \tfrac{125}{216} \left(19 - 13\sqrt{2} \right)^3\\
                                     J(3i) &= \tfrac{1}{27} \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 \left(21 + 20\sqrt{3}\right )^3 \\
                  J\left(2\sqrt{3}i\right) &= \tfrac{125}{16} \left(30 + 17\sqrt{3}\right)^3\\
 J\left( \tfrac{1 + 7\sqrt{3}i}{2} \right) &= -\tfrac{64000}{7} \left(651 + 142\sqrt{21} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1 + 3\sqrt{11}i}{10} \right) &= \tfrac{64}{27} \left(23 - 4\sqrt{33}\right)^2 \left(-77 + 15\sqrt{33} \right)^3\\
                  J\left(\sqrt{21}i\right) &= \tfrac{1}{32} \left(5 + 3\sqrt{3}\right)^2 \left(3 + \sqrt{7} \right)^2 \left( 65 + 34\sqrt{3} + 26\sqrt{7} + 15\sqrt{21}\right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{1} \right) &= \tfrac{1}{16} \left(10 + 7\sqrt{2} + 4\sqrt{5} + 3\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{2} \right) &= \tfrac{1}{16} \left(10 + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{5} - 3\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 + 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
     J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{5} \right) &= \tfrac{1}{16} \left(10 - 7\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} + 12\sqrt{5} - 10\sqrt{10} \right)^3\\
    J\left( \tfrac{\sqrt{30}i}{10} \right) &= \tfrac{1}{16} \left(10 - 7\sqrt{2} - 4\sqrt{5} + 3\sqrt{10} \right)^4 \left( 55 - 30\sqrt{2} - 12\sqrt{5} + 10\sqrt{10} \right)^3\\
J\left(\tfrac{1+\sqrt{31}i}{2}\right)      &= \left(1-\left(1+\frac{\sqrt{19}}{2}\left(\sqrt{\tfrac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}} \cdot \sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}}+ \sqrt{\tfrac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}} \cdot \sqrt[3]{\tfrac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}}\right)\right)^2\right)^3\\
                             J(\sqrt{70}i) &= \left(1 + \tfrac{9}{4}\left(303 + 220\sqrt{2} + 139\sqrt{5} + 96\sqrt{10}\right)^2 \right)^3 \\
J(7i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4}\sqrt{21+8\sqrt{7}} \left(30 + 11\sqrt{7} + \left (6+\sqrt{7} \right )\sqrt{21+8\sqrt{7}}\right)^2 \right)^3\\
J(8i) &= \left( 1 + \tfrac{9}{4} \sqrt[4]{2} \left (1 + \sqrt{2} \right) \left(123 + 104\sqrt[4]{2} + 88\sqrt{2} + 73\sqrt[4]{8}\right)^2 \right)^3\\
J(10i) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 + 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} + 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J \left( \tfrac{5i}{2} \right) &= \left(1 + \tfrac{9}{8}\left(2402 - 1607\sqrt[4]{5} + 1074\sqrt[4]{25} - 719\sqrt[4]{125}\right)^2 \right)^3\\
J(2\sqrt{58}i) &= \left(1+\tfrac{9}{256}\left(1+\sqrt{2}\right)^5\left(5+\sqrt{29}\right)^5\left(793+907\sqrt{2}+237\sqrt{29}+103\sqrt{58}\right)^2\right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1435}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 9892538 + 4424079\sqrt{5} + 1544955\sqrt{41} + 690925\sqrt{205} \right )^2 \right)^3\\
J\left( \tfrac{1 + \sqrt{1555}i}{2} \right) &= \left( 1 - 9 \left ( 22297077 + 9971556\sqrt{5} + \left ( 3571365 + 1597163\sqrt{5} \right ) \sqrt{\tfrac{31 + 21\sqrt{5}}{2}} \right)^2 \right)^3\\
\end{align}</math>

Кілька спеціальних значень були розраховані у 2014 році:<ref>{{cite web | last = Adlaj | first = Semjon | title = Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations | url = http://www.ccas.ru/depart/mechanics/TUMUS/Adlaj/ECCDG.pdf | accessdate = 17 October 2014 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20141023113147/http://www.ccas.ru/depart/mechanics/TUMUS/Adlaj/ECCDG.pdf | archivedate = 23 жовтня 2014 | deadurl = yes }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141023113147/http://www.ccas.ru/depart/mechanics/TUMUS/Adlaj/ECCDG.pdf |date= 23 жовтня 2014 }}</ref>

<math>\begin{align}
J \left( \tfrac{5i + 1}{2} \right) &= \left( \frac{2927 - 1323 \sqrt{5}}{2} \right)^3,\\
J(5i) &= \left( \frac{2927 + 1323 \sqrt{5}}{2} \right)^3,\\
\end{align}</math>

для значень нижче використані позначення,

: <math>\begin{align}
a_1, a_2, a_3, a_4 &= 1190448488, 858585699, 540309076, 374537880 \\
b_1, b_2, b_3, b_4 &= 693172512, 595746414, 407357424, 240819696
\end{align}</math>

: <math>\begin{align}
J \left( \tfrac{5 i + 2}{4} \right) &= \left ( \frac{\left( 1 + \sqrt{5}\right)^{37}}{2^{39}} \left ( a_1-  a_2 \sqrt{2} + a_3 \sqrt{5} - a_4 \sqrt{10} -\sqrt[4]{5} \left(b_1 - b_2 \sqrt{2} + b_3 \sqrt{5} - b_4 \sqrt{10} \right) \right) \right)^3,\\

J \left( \tfrac{10i + 1}{2} \right) &= \left ( \frac{\left( 1 + \sqrt{5} \right)^{37}}{2^{39}} \left (a_1- a_2 \sqrt{2} + a_3 \sqrt{5} - a_4 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( b_1- b_2\sqrt{2} + b_3\sqrt{5} - b_4\sqrt{10} \, \right) \right) \right)^3,\\

J \left( \tfrac{5 i}{4} \right) &= \left( \frac{\left( 1 + \sqrt{5} \right)^{37}}{2^{39}} \left (a_1+ a_2\, \sqrt{2} + a_3 \sqrt{5} + a_4 \sqrt{10} - \sqrt[4]{5} \left( b_1+ b_2 \sqrt{2} + b_3 \sqrt{5} + b_4 \sqrt{10} \right) \right) \right)^3,\\

J(20i) &= \left ( \frac{\left( 1 + \sqrt{5} \right)^{37}}{2^{39}} \left ( a_1+ a_2 \sqrt{2} + a_3 \sqrt{5} + a_4 \sqrt{10} + \sqrt[4]{5} \left( b_1+ b_2 \sqrt{2} + b_3 \sqrt{5} + b_4 \sqrt{10} \right) \right) \right)^3.
\end{align}</math>

: <math>J \left( \tfrac{1}{4}(5 i \pm 1) \right) = \left(1 - \tfrac{9}{8}\left((2402 - 1074\sqrt{5}) i \pm (1607 - 719\sqrt{5}) \sqrt[4]{5} \right)^2 \right)^3.</math>

Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:<ref>{{cite conference | first = Semjon | last = Adlaj | title = Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries | url = http://www.ccas.ru/sabramov/seminar/lib/exe/fetch.php?media=adlaj140924.pdf | booktitle = The joined MSU-CCRAS Computer Algebra Seminar | place = Moscow, Russia | year = 2014 | accessdate = 2 березня 2017 | archive-date = 23 вересня 2015 | archive-url = https://web.archive.org/web/20150923202040/http://www.ccas.ru/sabramov/seminar/lib/exe/fetch.php?media=adlaj140924.pdf }}</ref>

: <math>\begin{align}
J \left( \tfrac{4}{13} \left( 5 i \pm 1 \right) \right) = \left( \frac{\left( 1 - \sqrt{5} \right)^{37}}{2^{39}} \left( a_1- a_2\sqrt{2} - a_3 \sqrt{5} + a_4 \sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( b_1 - b_2 \sqrt{2} - b_3 \sqrt{5} + b_4 \sqrt{10} \right) \right) \right)^3,\\
J \left( \tfrac{5}{17} \left( 4i \pm 1 \right) \right) = \left( \frac{\left( 1 - \sqrt{5} \right)^{37}}{2^{39}} \left(a_1+a_2 \sqrt{2} - a_3 \sqrt{5} - a_4\sqrt{10} \pm i \sqrt[4]{5} \left( b_1+ b_2\sqrt{2} - b_3\sqrt{5} - b_4 \sqrt{10} \right) \right) \right)^3
\end{align}</math>

== Див. також ==
* [[Еліптична крива]]
* [[Еліптична функція]]
* [[Квантовий інваріант]]
* [[Модулярна форма]]
* [[Monstrous moonshine]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{citation|last=Apostol|first=Tom M.|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|year=1976|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=41|location=New York|publisher=Springer-Verlag|mr=0422157}}. 
* {{citation|title=Ramanujan and the modular j-invariant|url=http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf|year=1999|last1=Berndt|last2=Chan|first1=Bruce C.|first2=Heng Huat|journal=Canadian Mathematical Bulletin|volume=42|issue=4|pages=427–440|doi=10.4153/CMB-1999-050-1|mr=1727340|accessdate=25 лютого 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070929105913/http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf|archivedate=29 вересня 2007|deadurl=yes}}
* {{citation|last=Cox|first=David A.|title=Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication|year=1989|location=New York|publisher=Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc.|mr=1028322}}
* {{citation|title=Monstrous moonshine|year=1979|last1=Conway|last2=Norton|first1=John Horton|first2=Simon|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=11|issue=3|pages=308–339|doi=10.1112/blms/11.3.308|mr=0554399}}
* {{citation|last=Rankin|first=Robert A.|title=Modular forms and functions|year=1977|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-21212-X|mr=0498390}}
* {{citation|last=Schneider|first=Theodor|title=Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale|year=1937|journal=Math. Annalen|volume=113|pages=1&ndash;13|doi=10.1007/BF01571618|mr=1513075}}.

[[Категорія:Еліптичні функції]]
[[Категорія:Модулярні форми]]