Перегляд вихідного коду сторінки B-сплайн

{{unibox}}'''B-сплайн'''— [[сплайн|сплайн-функція]], що має мінімальний [[носій функції|носій]] для заданого [[степінь многочлена|степеня]], [[гладкість функції|гладкості]] та [[область визначення|області визначення]].

Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як [[лінійна комбінація]] B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.

Термін ''B-сплайн'' запровадив [[Ісак Яков Шонберг]] у 1978 році і є скороченням від словосполучення «базисний сплайн». B-сплайни є узагальненням [[крива Без'є|кривих Без'є]], вони допомагають уникнути [[феномен Рунге|феномену Рунге]] при високих степенях полінома.

== Визначення ==

'''B-сплайн''' степеня ''n'' з заданими ''вузлами'':
:<math> t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_m </math>

та ''(m−n)'' ''контрольними точками'' 
:<math>\mathbf{P}_{0} \ldots \mathbf{P}_{m-n-1}</math>

це [[параметрична крива]], що складена з '''базисних B-сплайнів''' степеня ''n'' 
:<math>\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t), \qquad t \in [t_n,t_{m-n}].</math>

Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:
:<math>b_{j,0}(t) := 1_{[t_j,t_{j+1})} =
\begin{cases} 
1, & \quad t \in [t_j, t_{j+1}) \\
0, & \quad t \notin [t_j, t_{j+1}) 
\end{cases}.
</math>

:<math>b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t) \; \quad >0</math> при <math> t \in [t_{j}, \; t_{j+n+1}).</math> 

При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються '''однорідними''', в протилежному випадку — '''неоднорідними'''.

=== Однорідні B-сплайни ===

Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є 
:<math>b_{j,n}(t) = b_n(t - t_j), \qquad\; j = \overline{0, m-n-1},</math>

де
:<math>b_{n}(t) := \frac{n+1}{n} \sum_{i=0}^{n+1} \omega_{i,n}(t - t_i)_+^{n}, \qquad \omega_{i,n} := \prod_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{t_j - t_i}.</math>

=== Кардинальні B-сплайни ===

Визначимо '''B'''<sub>''0''</sub> як [[індикаторна функція|індикаторну функцію]] відрізку <math>[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]</math> і '''B'''<sub>''k''</sub> рекурсивно через [[згортка (математичний аналіз)|згортку]]
:<math>B_k(t) := B_0(t) * B_{k-1}(t)  = \int_\R B_0(t-\tau)B_{k-1}(\tau)\, d\tau = \int_{t-\tfrac{1}{2}}^{t+\tfrac{1}{2}} B_{k-1}(\tau)\, d\tau, \quad k \in \N</math>

'''B'''<sub>''k''</sub> має носій <math>[-\tfrac{k+1}{2}, \tfrac{k+1}{2}].</math>

== Приклади ==
=== Константні B-сплайни ===

Це найпростіші сплайни. Вони не є навіть [[неперервна функція|неперервними]].
:<math>b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} \qquad B_0(t) = 1_{[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})}.</math>

=== Лінійні B-сплайни ===

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.
:<math>b_{j,1}(t) = \begin{cases} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j}, & \quad t \in [t_j, \; t_{j+1}) \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}}, & \quad t \in [t_{j+1}, \; t_{j+2})
\end{cases}
\qquad B_1(t) = \begin{cases} 
t + 1, & t \in [-1, \; 0) \\
1 - t, & t \in [0, \; +1)
\end{cases}
</math>

=== Однорідні квадратичні B-сплайни ===

Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.
:<math>b_2(t) = b_{j,2}(t) = \begin{cases}
\frac{1}{2}(t-t_j)^2, & t \in [t_j, \; t_{j+1}) \\
-(t-t_{j+1})^2 + (t-t_{j+1}) + \frac{1}{2}, & t \in [t_{j+1}, \; t_{j+2}) \\
\frac{1}{2}(1-(t-t_{j+2}))^2, & t \in [t_{j+2}, \; t_{j+3})
\end{cases}
\qquad B_2(t) = \begin{cases}
\frac{1}{2}(t + \frac{3}{2})^2, & t \in [-\frac{3}{2}, \; -\frac{1}{2}) \\
\frac{3}{4}-t^2, & t \in [-\frac{1}{2}, \; +\frac{1}{2}) \\
\frac{1}{2}(t - \frac{3}{2})^2, & t \in [\frac{1}{2}, \; \frac{3}{2})
\end{cases}
</math>

В матричній формі:
:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 &  2 & 0 \\ 1 &  1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix},
\qquad t \in [0,1], \quad i = \overline{1,m-1}</math>

=== Однорідні кубічні B-сплайни ===
:<math>b_3(t) = b_{j,3}(t) = \begin{cases}
\frac{1}{6}(t-t_j)^3, & t \in [t_j, \; t_{j+1}) \\
\frac{1}{6}\left(-3(t-t_{j+1})^3 + 3(t-t_{j+1})^2 + 3(t-t_{j+1}) + 1\right), & t \in [t_{j+1}, \; t_{j+2}) \\
..., & t \in [t_{j+2}, \; t_{j+3}) \\
\frac{1}{6}(1-(t-t_{j+3}))^3, & t \in [t_{j+3}, \; t_{j+4})
\end{cases}
</math>

:<math>B_3(t) = \begin{cases}
\frac{1}{6}(t+2)^3, & t \in [-2, \; -1) \\
\frac{1}{6}(-3t^3 - 6t^2 + 4), & t \in [-1, \; 0) \\
\frac{1}{6}(3t^3 - 6t^2 + 4), & t \in [0, \; 1) \\
\frac{1}{6}(-t+2)^3, & t \in [1, \; 2)
\end{cases}
</math>



В матричній формі:
:<math> \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix}
-1 &  3 & -3 & 1 \\
 3 & -6 &  3 & 0 \\
-3 &  0 &  3 & 0 \\
 1 &  4 &  1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix},
\quad t \in [0,1].</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Інтерполяція]]

== Джерела ==
* Hovey, Chad (2022).  Formulation and Python Implementation of Bézier and B-Spline Geometry. [https://hovey.github.io/docs/Hovey_2022_Bezier_B-Spline_SAND2022-7702_C.pdf SAND2022-7702C]. (153 pages)
* {{cite book | author = Carl de Boor | title = A Practical Guide to Splines | url = https://archive.org/details/practicalguideto0027debo | publisher = Springer-Verlag | year = 1978|isbn=978-3-540-90356-7}}
* {{cite book|last1=Piegl|first1=Les|last2=Tiller|first2=Wayne|title=The NURBS Book|edition=2nd.|year=1997|publisher=Springer|isbn=978-3-540-61545-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/nurbsbook00pieg}}
* {{cite book|author1=Hartmut Prautzsch|author2=Wolfgang Boehm|author3=Marco Paluszny|title=Bézier and B-Spline Techniques|url=https://archive.org/details/bezierbsplinetec0000prau|year=2002|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-43761-1}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=B-Spline|id=B-Spline}}
* {{cite web | url=http://www.oxford-man.ox.ac.uk/~jruf/papers/ruf_bspline.pdf | title=B-splines of third order on a non-uniform grid | first1=Johannes | last1=Ruf | access-date=2012-05-02 | archive-url=https://web.archive.org/web/20131106031347/http://www.oxford-man.ox.ac.uk/~jruf/papers/ruf_bspline.pdf | archive-date=2013-11-06 | url-status=dead }}

{{Криві}}
{{Мало джерел|дата=червень 2023}}
{{Перекласти|en|B-spline|дата=грудень 2020}}
{{Math-stub}}

[[Категорія:Сплайни]]