Перегляд вихідного коду сторінки 4-вектор

'''4-вектор'''&nbsp;— це аналог тривимірного [[Вектор (математика)|вектора]] в чотиривимірному [[Простір-час|просторі-часі]], складеному змінними ct та x, y, z звичайного [[Простір|простору]].

В цьому визначенні t&nbsp;— [[час]], c&nbsp;— [[швидкість світла]].

При переході від звичайних векторів тривимірного простору до 4-векторів основні рівняння фізики набирають простішої форми.

== Чотиривимірний простір-час ==
Кожна [[подія]] характеризується місцем та часом. Тобто її можна характеризувати за допомогою чотирьох чисел: часом t та [[Декартова система координат|декартовими координатами]] x, y, z.
Якщо домножити час на універсальну сталу швидкість світла, то можна визначити так званий радіус-вектор у чотиривимірному просторі
(x<sup>0</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup>), де <math>x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z </math>.
Цей простір називають [[Простір Мінковського|простором Мінковського]].

Очевидно, що значення x, y, z залежать від вибору системи координат. При переході від одної інерційної системи координат до іншої змінюється
також значення часу згдіно із [[перетворення Лоренца|перетвореннями Лоренца]]. Так при переході до системи координат, яка рухається відносно початкової
системи із швидкістю V вздовж осі x, матимемо:
: <math> x^{0} = \frac{ x^{0\prime} + \beta x^{1\prime}}{\sqrt{ 1 - \beta^2}}  </math>

: <math>x^1 = \frac{x^{1\prime} + \beta x^{0\prime}}{\sqrt{1 - \beta^2}}</math>,

де <math> \beta = \frac{V} {c} </math>.

Радіус-вектор події є першим прикладом 4-вектора, який називають '''4-радіус-вектором'''.

== Визначення ==
Довільна четвірка чисел (A<sup>0</sup>, A<sup>1</sup>, A<sup>2</sup>, A<sup>3</sup>), яка при переході від однієї системи координат до іншої перетоврюється
аналогічно до 4-радіус-вектора називається '''коваріантрим 4-вектором'''.

Четвірка чисел (A<sup>0</sup>,&nbsp;— A<sup>1</sup>,&nbsp;— A<sup>2</sup>, -A<sup>3</sup>) називається '''контраваріантим 4-вектором'''. Контраваріантні 4-вектори позначаються нижніми індексами.
: (A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>) =(A<sup>0</sup>,&nbsp;— A<sup>1</sup>,&nbsp;— A<sup>2</sup>, -A<sup>3</sup>).

'''Скалярним добутком двох 4-векторів''' називається вираз
: <math> \sum_{i=1}^4 A^i B_i </math>.
Знак суми в скалярному добутку заведено не писати, вважаючи, що повторення індекса внизу й вгорі автоматично означає підсумовування за цим
індексом.

Скалярний добуток 4-векторів при переході до іншої системи коодинат не змінюється.

Іноді 4-вектори записуються в формі <math> (A^0, \mathbf{A}) </math>.

== Приклади 4-векторів ==
Четвірка операторів
: <math> \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \frac{\partial}{\partial x^3} \right) </math>

є контраваріантним 4-вектром, аналогом [[оператор Гамільтона|оператора градієнта Гамільтона]].

'''[[4-швидкість]]''' визначається, як
: <math> u^i = \frac{dx^i}{ds} </math>

де ds&nbsp;— [[просторово-часовий інтервал]] між нескінченно близькими подіями, і дорівнює:

: <math> u^i = (\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \frac{\mathbf{v}}{c\sqrt{1 - v^2/c^2}}) </math>,

де <math> \mathbf{v} </math>&nbsp;— звичайна тривимірна швидкість. 4-швидкість&nbsp;— безрозмірна величина.

Для 4-швидкості справедливе співвідношення
: <math> u^iu_i = 1 </math>.

'''[[4-імпульс]]''' частки визначається, як
: <math> p^i = mcu^i = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p} \right)</math>.

де m&nbsp;— [[маса]] частинки, E&nbsp;— енергія частки.

Для 4-імпульсу справедливе співвідношення:
<math> p^ip_i = m^2 c^2 </math>.

'''[[4-прискорення]]'''&nbsp;— це друга похідна від 4-радіусу щодо просторово-часового інтервалу
: <math> w^i = \frac{d^2 x^i}{ds^2} = \frac{d u^i}{ds} </math>.

Для 4-прискорення справедливе співвідношення
: <math> u_i w^i \, = 0 </math>,

тобто 4-прискорення ортогональне до 4-швидкості.

'''[[Електромагнітний потенціал|4-потенціал]]''' електромагнітного поля визначається як <math> (\varphi, \mathbf{A}) </math>,

де φ&nbsp;— [[векторний потенціал|електричний потенціал]], а <math> \mathbf{A} </math>&nbsp;— [[векторний потенціал]] магнітного поля.

'''4-густина струму''' визначається, як <math>( c\rho, \mathbf{j}) </math>. [[Рівняння неперервності]] тоді набирає форми
<math> \frac{\partial j^i}{\partial x^i} = 0 </math>, або в скороченому вигляді <math> \partial_i j^i = 0</math>.

== Див. також ==
* [[4-тензор]]
* [[Тензор електромагнітного поля]]

[[Категорія:Простір-час Мінковського]]
[[Категорія:Загальна теорія відносності]]