Перегляд вихідного коду сторінки 0,(9)

[[Файл:999 Perspective 2.svg|300px|right]]

У [[Математика|математиці]], [[Десятковий_дріб#Види десяткових дробів|періодичний дріб]] '''0,999…''', який можна також записати як '''0,<span style="text-decoration: overline;">9</span>''', <math alt="0{,}9 with dot over the 9" style="position:relative;top:-.3em">\scriptstyle\mathbf{0}.\mathbf{\dot{9}}</math> або '''0,(9)''', позначає [[дійсне число]], яке, як можна показати, є [[1 (число)|одиницею]]. Інакше, символи ''0,999…'' і ''1'' репрезентують одне й те ж число. [[Доведення#Математичний доказ|Доведення]] цієї [[Відношення рівності|рівності]] були сформульовані з різними мірами [[Точність|математичної точності]], залежно від цільової аудиторії, історичного контексту тощо.

== Алгебраїчні доведення ==
Алгебраїчні доведення, які показують, що 0,(9) репрезентує число 1, використовують поняття [[Дріб|дробів]], [[ділення стовпчиком]] і цифрові маніпуляції, щоб побудувати перетворення, які приводять до рівності 0,999… і 1.

=== Дроби та ділення у стовпчик{{anchor|Fractions}} ===
: <math>
\begin{align}
 \frac{1}{9}           & = 0{,}111\dots  \\
 9 \times \frac{1}{9}  & = 9 \times 0{,}111\dots \\
 1                     & = 0{,}999\dots
\end{align}
</math>

В іншій формі такого доведення множать {{frac|1|3}}&nbsp;=&nbsp;0,333… на 3.

=== Маніпуляції з цифрами ===
Коли число в десятковій нотації множиться на 10, цифри не змінюються, але десяткова кома переміщується на одну позицію праворуч. Таким чином <math>10\times0{,}999...=9.999...</math>, що на 9 більше, ніж початкове число. Переконаємося в цьому, віднявши 0,999 … від 9,999 …; дробова частина різниці буде рівна нулю, оскільки <math>9-9=0</math> для кожного розряду дробової частини. Далі застосуємо алгебру:

: <math>
\begin{align}
x           &= 0{,}999\ldots \\
10 x        &= 9{,}999\ldots \\
10 x - x    &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\
9 x         &= 9 \\
x           &= 1
\end{align}
</math>

== У попкультурі ==
Математичний фольклор також змальовує 0,(9), зокрема в такому [[Математичний жарт|жарті]]:<ref>Renteln and Dundes, p. 27</ref>
<blockquote>
'''З:''' Скільки математиків потрібно, щоби вкрутити одну лампочку?<br/>
'''В:''' 0,(9).
</blockquote>

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Математичні парадокси]]
[[Категорія:Дроби]]