Перегляд вихідного коду сторінки Щільний порядок

'''Щільний порядок'''&nbsp;— [[бінарне відношення]] між елементами множин у [[Частково впорядкована множина|частковому]] або [[Лінійно впорядкована множина|лінійному порядку]] (позначимо його <) на множині ''X,'' коли для всіх ''x'' і ''y'' з ''X,'' для яких виконується ''x'' ''< y,'' існує елемент ''z'' в ''X,'' такий що ''x'' ''< z'' < ''y.'' Іншими словами, порядок називають щільним, коли немає сусідніх елементів. Оскільки між будь-якими двома елементами щільного порядку є ще хоча б один, будь-який відрізок щільного порядку нескінченний<ref>{{Cite web|language=русский|url=http://www.mi-ras.ru/~podolskii/files/lecture5.pdf|title=Лекция 5: упорядоченные множества|last=|website=Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук|date=2015|publisher=|accessdate=29 червня 2021|archive-date=1 листопада 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191101061205/http://www.mi-ras.ru/~podolskii/files/lecture5.pdf}}</ref>.

== Приклад ==
Щільною впорядкованою множиною є [[Дійсне число|дійсні числа]] і [[раціональні числа]] зі звичайним порядком. З іншого боку, звичайний порядок [[Цілі числа|цілих чисел]] щільним не є.

== Єдиність ==
[[Георг Кантор]] довів, що дві будь-які щільні лінійно впорядковані [[Зліченна множина|зліченні множини]] без нижньої і верхньої меж [[Ізоморфізм порядку|ізоморфні відносно впорядкування]]{{Sfn|Roitman|1990|с=123}}. Зокрема, існує ізоморфізм зі збереженням порядку між [[Раціональні числа|раціональними числами]] та іншими щільними зліченними множинами, включно з [[Двійково-раціональне число|двійково-раціональними числами]] й [[Алгебраїчні числа|алгебричними числа]]. У {{Не перекладено|Метод підбору|методі підбору|en|back-and-forth method}}{{Sfn|Dasgupta|2013|с=161}} використовується доведення цього результату.

Для визначення ізоморфізмів порядку між квадратичними алгебричними числами і раціональними числами, а також між раціональними числами і двійково-раціональними числами можна використати [[Функція Мінковського|функцію Мінковського]].

== Узагальнення ==
[[Бінарне відношення]] ''R'' вважається ''щільним,'' якщо для всіх пов'язаних відношенням ''R'' ''x'' і ''y,'' є ''z,'' таке що ''x'' і ''z,'' а також ''z'' і ''y'' пов'язані відношенням ''R.'' Формально:

: <math> \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz \land zRy).</math>

У термінах {{Не перекладено|Суперпозиція відношень|суперпозиції відношень|en|composition of relations}} ''R'' із собою, умову щільності можна альтернативно виразити як <math>R \subseteq R R</math>{{Sfn|Schmidt|2011|с=212}}.

[[Необхідна і достатня умова|Достатніми умовами]] до того, що бінарне відношення ''R'' на множині ''X'' матиме щільний порядок, є випадки коли:

* ''R'' [[Рефлексивне відношення|рефлексивне]];
* ''R'' [[Корефлексивне відношення|корефлексивне]] ;
* ''R'' [[Рефлексивне відношення|квазірефлексивне]] ;
* ''R'' ліво- або [[Евклідове відношення|правоевклідове]];
* ''R'' [[Симетричне відношення|симетричне]] і {{Не перекладено|Напівконексне відношення|напівконексне|en|semi-connex relation}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:semi-connex relation]] (→ [[:en:Connected relation]]) перекладена як [[Повне відношення]], хоча хотіли [[Напівконексне відношення]] (SashkoR0B0T)--> і ''X'' має <math>\geqslant 3</math> елементів.

Жодна з них не є [[Необхідна і достатня умова|необхідною]]. Непорожнє щільне відношення не може бути [[нетранзитивність|антитранзитивним]].

Строго [[Частково впорядкована множина|частковий порядок]] < є щільним порядком [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли < є щільним відношенням. Щільне відношення є {{Не перекладено|Ідемпотентне відношення|ідемпотентним відношенням|en|idempotent relation}}, коли воно також [[Транзитивне відношення|транзитивне]].

== Див. також ==
* [[Щільна множина]]
* {{Не перекладено|Щільна в собі підмножина||en|Dense-in-itself}}
* [[Семантика Кріпке]]&nbsp;— щільне відношення досяжності, яке відповідає аксіомі <math>\Box\Box A \rightarrow \Box A</math>

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Джерела ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* {{Книга
|заголовок = Introduction to Modern Set Theory
|том = 8
|серія = Pure and Applied Mathematics
|автор = Judith Roitman
|ref = Roitman
|видавництво = John Wiley & Sons
|рік = 1990
|ISBN = 9780471635192
|посилання = https://books.google.com/books?id=0euMlBhBxjMC&pg=PA123
|частина = Theorem 27, p.&nbsp;123
|назва = 
|archivedate = 29 червня 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210629093958/https://books.google.com/books?id=0euMlBhBxjMC&pg=PA123
}}
* {{Книга
|заголовок = Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets
|автор = Abhijit Dasgupta
|ref = Dasgupta
|видавництво = Springer-Verlag
|рік = 2013
|ISBN = 9781461488545
|посилання = https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ&pg=PA161
|назва = 
|archivedate = 29 червня 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210629093958/https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ&pg=PA161
}}
* {{Книга
|автор = Gunter Schmidt
|ref = Schmidt
|рік = 2011
|заголовок = Relational Mathematics
|видавництво = [[Cambridge University Press]]
|ISBN = 978-0-521-76268-7
}}
* {{Книга
|автор = David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn
|заголовок = Dynamic logic
|видавництво = MIT Press
|рік = 2000
|ISBN = 0-262-08289-6
|сторінки = 6ff
}}

{{Теорія порядку|state=expanded}}

[[Категорія:Теорія порядку]]
[[Категорія:Бінарні відношення]]