Перегляд вихідного коду сторінки Щільне пакування рівних сфер

{{also|Задача про пакування куль}}
{{вичитати}}
[[Файл:Close_packing_box.svg|міні|Ілюстрація щільного пакування рівних сфер у ґратці ГЩ (ліворуч) і ГЦК (праворуч)]]
'''Щільне пакування рівних сфер'''&nbsp;— таке розташування однакових&nbsp;[[Сфера|сфер]]&nbsp;в деякій області [[Евклідовий простір|евклідового простору]], при якому дані сфери не перекривають одна одну, а частка простору, що обмежена внутрішніми областями цих сфер ([[щільність пакування]]) є максимальною, а також задача [[комбінаторна геометрія|комбінаторної геометрії]]&nbsp;про пошук цього пакування<ref name="Пакування куль">{{ref-ru}} {{стаття|автор=[[Ніл Слоун|Слоэн Н. Дж. А.]] |заголовок=Упаковка шаров |видання=[[В мире науки]] |номер=3 |рік=1984 |сторінки=72-82 |посилання=http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Spheres.htm}}</ref>.

Задача пакування сфер може розглядатися на [[Площина|площині]], в [[Тривимірний простір|тривимірному просторі]], а також в просторах більших вимірів.

== Загальна характеристика ==
[[Карл Фрідріх Гаусс|Карл Фрідріх Ґаусс]] довів, що найвища щільність пакування, яка може бути досягнута простим регулярним пакуванням ([[ґратка (теорія груп)|ґраткою]]), дорівнює:
: <math>\frac{\pi}{3\sqrt 2} \simeq 0.74048.</math>
Ця щільність досягається в пакуваннях у ГЦК і ГЩ ґратці. [[Гіпотеза Кеплера]] стверджує, що це пакування має найвищу щільність серед усіх можливих пакувань сфер, регулярних та нерегулярних. Цю гіпотезу довів Т.&nbsp;К.&nbsp;Гейлз після багаторічної праці з програмування обчислень, необхідних для доведення<ref>{{cite arXiv|last=Hales|first=T. C.|eprint=math/9811071v2|title=An overview of the Kepler conjecture|year=1998}}</ref>{{sfn|Szpiro|2003|с=12–13}}.

== Ґратки ГЦК і ГЩ ==
[[Файл:Square_circle_grid_spheres.png|ліворуч|міні|120x120пкс|ГЦК-пакування, розглянуте в напрямку осей симетрії 4-го порядку ]]
[[Файл:Empilement_compact_plan.svg|ліворуч|міні|Окремий шар щільного пакування]]
{| align="right" class="wikitable" width="360" style="margin-bottom: 34px;"
! colspan="2" |ГЦК
!ГЩ
|-
|[[Файл:Cuboctahedron_B2_planes.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Cuboctahedron_3_planes.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Triangular_orthobicupola_wireframe.png|120x120пкс]]
|-
| colspan="3" |''ГЦК''-пакування може бути орієнтовано по-різному, й в залежності від орієнтації на окремий її шар має квадратне або трикутне пакування. Це можна бачити по [[кубооктаедр]]у з 12 вершинами, що представляють положення центрів 12 сфер навколо центральної сфери. ''ГЩ''-пакування можна розглядати як шари, запаковані в трикутне пакування, де сфери сусіднього шару містяться у вершинах {{нп5|Трискатний прямий бікупол|трискатного прямого бікупола||triangular orthobicupola}}, що проходить через центри сфери цього шару.
|}
Існує дві прості регулярні ґратки, на яких досягається максимальна середня щільність. Вони називаються '''гранецентрована кубічна''' ('''ГЦК''') (або '''кубічне щільне пакування''') та '''шестикутне щільне пакування '''('''ГЩ або ГЩУ = Гексагональна щільноупакована''' комірка або ґратка), у залежності від [[Симетрія|симетрій]] ґратки. Обидві ґратки ґрунтуються на шарах сфер з центрами у вершинах трикутної мозаїки. Обидві ґратки можна представити як стіс однакових листів, усередині яких сфери покладені в трикутну ґратку (щільноупакованих шарів); ГЦК і ГЩ відрізняються положенням цих листів відносно один одного.

ГЦК ґратка у математиці відома як ґратка, що генерується [[Система коренів|системою коренів]] A<sub>3</sub>{{Sfn|Conway, Sloane|1998|с=Section 6.3}}. В англомовній літературі цей вид комірки називається '''face-centered cubic''' ('''fcc'''). ГЩ ґратка в англомовній літературі називається '''hexagonal close-packed''' ('''hcp''').

=== Розташування і незаповнений простір ===
Взявши за точку відліку один з щільноупакованих шарів куль, можна розділити на інші різні типи в залежності від того, як вони розташовані відносного першого шару в сенсі горизонтального зсуву. Таких типів три, та їх прийнято позначати A, B і C.

Щодо рівня з кулею A (див. малюнок нижче) можливі різні положення куль B і C. Будь-яка послідовність позицій A, B і C за шарами без повторення в сусідніх шарах можлива й дає пакування тієї ж щільності.

Найправильніші пакування:

* ГЦК = ABCABCA (рівні збігаються через два)
* ГЩ = ABABABA (рівні збігаються через один).

З усім тим, та ж сама щільність пакування може бути досягнута альтернативним пошаровим укладанням тих же щільних пакувань сфер у площині, разом із структурами, які аперіодичні у напрямку укладання шарів.

Є незліченна кількість нерегулярних розташувань площин (наприклад, ABCACBABABAC…), які іноді називаються «пакуваннями Барлоу», за ім'ям кристалографа {{нп5|Вільям Барлоу|Вільяма Барлоу||William Barlow (geologist)}}{{Sfn|Barlow|1883|с=186–188}}.

{| border="0" cellpadding="10px" style="border:1px solid gray;"
|-
!Порівняння ГЦК і ГЩ пакувань
|- style="text-align:center;"
| [[Файл:close packing.svg|100000x250px]]
|-
| ГЩ пакування (ліворуч) і ГЦК пакування (праворуч). Контури відповідних [[Ґратка Браве|ґраток Браве]] показано червоним. Букви показують, які шари у пакуванні збігаються (при зсуву відносно один одного в горизонтальній площині): так, у ГЩ пакуванні над шаром A розташований шар B, а над ним&nbsp;— знову шар A, в якому сфери лежать на тих же позиціях, що й на інших шарах A. У ГЦК пакуванні показано три шари, й усі вони різні: над шаром A розташований B, над B&nbsp;— C, і лише над C знову буде A. Зауважимо, що ГЦК пакування можна перевести в ГЩ пакування шляхом зсуву шарів, як показано пунктирною лінією.
|}
{| border=0 cellspacing=2em
|- style="text-align:center;"
| [[Файл:Hexagonal_close-packed_unit_cell.jpg|270x270пкс]]
| [[Файл:Close-packed_spheres,_with_umbrella_light_&_camerea.jpg|260x260пкс]]
|-
| Показано укладання одинадцяти куль '''ГЩ''' ґратки. ГЩ-укладання відрізняється від верхніх трьох шарів ГЦК укладання на правому малюнку тільки нижнім шаром. Вона може бути перетворена в ГЦК-укладання шляхом обертання або зсуву одного з шарів. У реальному кристалі великого розміру таке теж може статися при певних умовах (це буде [[фазовий перехід]]).
| Кілька шарів '''ГЦК'''-укладання. Зауважте, як суміжні кулі вздовж кожного ребра правильного [[Чотиригранник|тетраедра]] розташовані відносно один одного, й порівняйте з '''ГЩ''' пакуванням на лівому малюнку.
|}
У щільному пакуванні відстань між центрами сфер у площині щільноупакованого шару дорівнює діаметру сфери. Відстань між центрами сфер у проєкції на вісь, перпендикулярну щільноупакованому шару, дорівнює:

: <math>\text{pitch}_Z = \sqrt{6} \cdot {d\over 3}\approx0,81649658 d,</math>

де ''d''&nbsp;— діаметр сфери. Це випливає з тетраедричного розташування сфер у щільному пакуванні.

Як у ГЦК, так і в ГЩ укладаннях кожна сфера має контакт з дванадцятьма сусідніми сферами (іншими словами, [[координаційне число]] для будь-якої сфери в них дорівнює 12). Навколо сфери існують порожні області, оточені шістьма сферами (октаедричні), і менші порожні області, оточені чотирма сферами (тетраедричні). Відстані до центрів цих порожніх ділянок від центрів навкружних сфер дорівнює {{Sqrt|{{frac|3|2}}}} для тетраедричних і {{Sqrt|2}} для октаедричних{{Немає АД|02|09|2017}} просторів, якщо радіус сфери дорівнює 1. ГЦК пакування виходить, якщо в черговому шарі поміщати кулі над октаедричними порожнечами, ГЩ&nbsp;— над деякими тетраедричними.

== Побудова ґратки ==
Коли утворюється будь-яка ґратка пакування куль, слід зауважити, що якщо дві сфери торкаються, може бути проведена пряма з центру однієї сфери до центру іншої сфери і ця пряма проходить через точку дотику. Відстань між центрами&nbsp;— найкоротший шлях між точками&nbsp;— якраз лежить на цій прямій, тому ця відстань дорівнює ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub>, де ''r''<sub>1</sub>&nbsp;— радіус сфери, а ''r''<sub>2</sub>&nbsp;— радіус іншої. У щільному пакуванні всі сфери мають один радіус ''r'', так що відстань між центрами дорівнює просто 2''r''.

=== Проста ГЩ-ґратка ===
[[Файл:Animated-HCP-Lattice.gif|thumbnail=Animated-HCP-Lattice-Thumbnail.gif|Анімація побудови ґратки щільного пакування. ''Зауваження'': Якщо кулі третього рівня (рівень не показаний) містяться прямо над кулями першого рівня, то отримаємо ГЩ-ґратку. Якщо кулі третього рівня розташовані над проміжками між кулями першого рівня, то отримаємо ГЦК-ґратку.]]
Для утворення A-B-A-B-… шестикутного щільного пакування сфер, координати точок ґратки будуть центрами куль пакування. Припустимо, що метою є заповнення коробки сферами згідно зі схемою ГЩ. Коробка розташована у [[Декартова система координат|системі координат ''x''-''y''-''z'']].

Спочатку утворимо ряд сфер, їх центри лежатимуть на одній прямій. Їх ''x''-координати змінюватимуться на величину 2''r'', оскільки відстань між центрами двох дотичних сфер дорівнює 2''r''. Для цих куль ''y''-координати і z-координати будуть однаковими. Для простоти припустимо, що ''y''- і ''z''-координати куль першого ряду дорівнюють ''r'', що відповідає розташуванню куль на площинах з нульовими ''y''- і ''z''-координатами. Отже, координати куль першого ряду будуть виглядати як (2''r'', ''r'', ''r''), (4''r'', ''r'', ''r''), (6''r'' ,''r'', ''r''), (8''r'' ,''r'', ''r''), … .

Тепер формуємо другий ряд сфер. Знову&nbsp;— центри лежатимуть на прямій і ''x''-координати відрізнятимуться на 2''r'', але кулі будуть зрушені за віссю, так що ''x''-координати центрів дорівнюватимуть координатам точок зіткнення куль першого ряду, що дозволяє кулям другого ряду міститися ближче до куль першого. Оскільки нові сфери ''торкаються'' двох сфер, їх центри утворюють рівносторонні (правильні) трикутники з центрами сусідніх куль. Усі довжини сторін дорівнюватимуть 2''r'', так що різниця між рядами за ''y''-координатою становитиме {{Sqrt|3}}''r''. Тобто другий рядок матиме координати:

: <math>\left(r, r + \sqrt{3}r, r\right),\ \left(3r, r + \sqrt{3}r, r\right),\ \left(5r, r + \sqrt{3}r, r\right),\ \left(7r, r + \sqrt{3}r, r\right), \dots.</math>

Наступний рядок сфер іде за цим шаблоном, зрушуючи ряд за віссю ''x'' на величину ''r'' і за віссю ''y'' на {{Sqrt|3}}. Додаємо ряди, поки не досягнемо кордону скриньки.

У пакуванні A-B-A-B-… ''площини'' сфер з непарними номерами матимуть у точності ті ж координати <span>''x-'' та</span> ''y'', змінюються тільки ''z''-координати, що вірно й для парних ''площин''. Обидва види площин утворюються за тією ж самою схемою, але початкове положення ''першої'' сфери першого рядка відрізнятиметься.

Використовуємо побудову, описану вище, як шар A. Помістимо сферу поверх цього шару так, що вона торкається трьох сфер шару A. Ці три сфери вже торкаються один одного, утворюючи рівносторонній трикутник. Оскільки ці три сфери торкається доданої сфери, чотири центри утворюють [[Чотиригранник|правильний тетраедр]]{{Sfn|Grunch.net}}, усі сторони якого дорівнюють 2''r''. Висота цього тетраедра є різницею ''z''-координати між двома шарами і дорівнює <math>\tfrac{\sqrt{6}r2}{3}</math>. Комбінація з ''x''- і ''y''-координатами дає центри першого ряду площини B:

: <math>\left(r, r + \frac{\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(3r, r + \frac{\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(5r, r + \frac{\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(7r, r + \frac{\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right), \dots. </math>

Координати другого ряду йдуть за схемою, описаною вище:

: <math>\left(2r, r + \frac{4\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(4r, r + \frac{4\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(6r, r + \frac{4\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\ \left(8r,r + \frac{4\sqrt{3}r}{3}, r + \frac{\sqrt{6}r2}{3}\right),\dots. </math>

Різниця ''z''-координат до наступного A-шару, знову дорівнює <math>\tfrac{\sqrt{6}r2}{3}</math>, а ''x''- і ''y''-координати дорівнюють координатам першого A-шару<ref>{{MathWorld|urlname = HexagonalClosePacking|title = Hexagonal Close Packing}}</ref>.

У загальному випадку координати центрів можна записати у вигляді:

: <math>\begin{bmatrix}
  2i + ((j\ +\ k) \bmod 2)\\
  \sqrt{3}\left[j + \frac{1}{3}(k \bmod 2)\right]\\
  \frac{2\sqrt{6}}{3}k
\end{bmatrix}r</math>

де ''i'', ''j'' та ''k'' індекси за координатами ''x'', ''y'' і ''z'' (починаються з нуля).

== Варіанти та узагальнення ==
[[Файл:Citrus_fruits.jpg|міні|Найефективніший спосіб пакування кіл різного розміру на площині не є очевидним]]
{{Див. також|Задача про пакування куль}}

=== Простори інших розмірностей ===
Можна розглянути аналогічну задачу щільного пакування гіперсфер (чи кіл) в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] розмірності, відмінною від 3. Зокрема, двовимірному евклідовому просторі найкращим заповненням є розміщення центрів кіл у вершинах [[Шестикутний паркет|паркету, утвореного правильними шестикутниками]], в якому кожне коло оточене шістьма іншими. Саме з таких шарів побудовані ГЦК і ГЩ пакування. Щільність цього пакування:
: <math>\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069</math><ref name="Пакування куль"/>.

[[Файл:Circle_packing_(hexagonal).svg|міні|Оптимальне пакування кіл на площині]]
[[1940 у науці|1940 року]] було доведено, що це пакування є найщільнішим.

2016 року український математик [[Вязовська Марина Сергіївна|Марина Вязовська]] вирішила задачу про пакування куль у просторах [[Старші розмірності|старших розмірностей]]&nbsp;— восьмивимірному<ref>{{ref-en}} {{стаття|заголовок=Stacking Cannonballs In 8 Dimensions|посилання= https://www.forbes.com/sites/kevinknudson/2016/03/29/stacking-cannonballs-in-8-dimensions/#4b4dc77d2b32|автор=Kevin Knudson.|видання=[[Forbes]]|рік=2016|місяць=3|день=29|номер=}}</ref><ref>{{ref-en}} {{стаття|заголовок=Sphere Packing in Dimension 8|посилання=http://www.huffingtonpost.com/frank-morgan/sphere-packing-in-dimensi_b_9496736.html|автор=Frank Morgan.|видання=[[The Huffington Post]]|рік=2016|місяць=3|день=21|номер=}}</ref><ref>{{ref-de}} {{стаття|заголовок=So stapeln Mathematiker Melonen|посилання=http://www.zeit.de/wissen/2016-03/mathematik-kugeln-dicht-packen-achte-dimension|автор=Andreas Loos.|видання=[[Die Zeit]]|рік=2016|місяць=3|день=21|номер=}}</ref> та, у співавторстві, в 24-мірному<ref>{{ref-en}} {{стаття|заголовок=New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions|посилання=https://www.newscientist.com/article/2082328-new-maths-proof-shows-how-to-stack-oranges-in-24-dimensions/|автор=Lisa Grossman.|видання=[[New Scientist]]|рік=2016|місяць=3|день=28|номер=}}</ref><ref name="Erica Klarreich">{{ref-en}} {{стаття|заголовок=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|посилання=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions/|автор=Erica Klarreich.|видання=[[Quanta]]: Magazine|рік=2016|місяць=3|день=30|номер=}}</ref>.
Рішення Вязовської восьмивимірного випадку займає 23 сторінки і є «приголомшливо простим»<ref name="Erica Klarreich" /> у порівнянні з 300-сторінковим текстом і використанням 50 000 рядків програмного коду при викладі доказу [[гіпотеза Кеплера|гіпотези Кеплера]]<ref>{{ref-en}} {{стаття|заголовок=In Computers We Trust?|посилання=https://www.quantamagazine.org/20130222-in-computers-we-trust/|автор=Natalie Wolchover.|видання=[[Quanta]]: Magazine|рік=2013|місяць=2|день=22|номер=}}</ref> для тривимірного простору.

Найвища щільність відома тільки для розмірностей простору 1 (укладання впритул), 2 ([[трикутна ґратка]]), 3 (ГЦК, ГЩ та інші пакування, побудовані з шарів трикутної ґратки), 8 ([[ґратка E8]]) і 24 ([[ґратка Ліча]]){{Sfn|Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska|2017}}.

=== Заповнення простору, що залишився ===
ГЦК і ГЩ пакування є найщільнішими відомими пакуваннями однакових сфер з максимальною симетрією (найменшою одиницею повторення). Щільніші [[пакування куль]] відомі, але в них використовуються сфери різних діаметрів.
Для упаковок з щільністю 1, заповнюють простір повністю, потрібно несферичні тіла, такі як [[Стільник (геометрія)|стільники]], або нескінченна кількість сфер у кінцевому обсязі ([[сітка Аполлонія]]).

=== Стільники ===
Якщо замінити кожну точку дотику двох сфер ребром, що з'єднує центри дотичних сфер, отримаємо тетраедри і октаедри з однаковими довжинами сторін.
ГЦК укладання дає {{нп5|тетраедрично-октаедричний стільник|||tetrahedral-octahedral honeycomb}}. ГЩ укладання дає {{нп5|повернений тетраедрично-октаедричний стільник|||gyrated tetrahedral-octahedral honeycomb}}.
Якщо, замість цього, будь-яка сфера розширюється точками, які ближче до неї, ніж до будь-якої іншої сфери, виходять двоїсті стільник&nbsp;— {{нп5|ромбододекаедричний стільник|||rhombic dodecahedral honeycomb}} для ГЦК і {{нп5|трапецієромбічний додекаедричний стільник|||trapezo-rhombic dodecahedral honeycomb}}для ГЩ.

Сферичні бульбашки в мильній воді за схемою ГЦК або ГЩ, коли вода між бульбашками висихає, також приймають форму {{нп5|ромбододекаедричний стільник|ромбододекаедричного||rhombic dodecahedral honeycomb}} або {{нп5|трапецієромбічний додекаедричний стільник|трапецієромбічного додекаедричного||trapezo-rhombic dodecahedral honeycomb}} стільників. Однак такі ГЦК або ГЩ піни з дуже малим вмістом рідини нестабільні, оскільки для них не виконується {{нп5|закон Плате|||Plateau's laws}}. {{нп5|Піна Кельвіна та структура Вейра й Пелана|||Kelvin foam}} стійкіші, маючи меншу міжгранчасту енергію при малій кількості рідини{{Sfn|Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner и др.|2013}}.

== Щільне пакування куль у житті ==
[[Файл:HCP_Oranges.jpg|ліворуч|міні|Розміщення плодів [[апельсин]]а в ГЩ пакуванні.]]
[[Файл:Pyramid of Snowballs Large.png|міні| Снігові кулі, укладені для гри у [[Сніжки (гра)|сніжки]]. У передній піраміді сніжки покладені в шестикутне щільне пакування, в задній&nbsp;— у гранецентроване кубічне.]]
Багато [[кристал]]ів мають структуру щільного пакування одного типу атомів або щільне пакування великих іонів з меншими йонами, які заповнюють простір між ними. Як правило, кубічне й шестикутне розташування дуже близькі за енергією, і важко передбачити, яку форму кристал прийме.

[[Томас Герріот]] близько 1585 року зробив перший роздум з точки зору математики про укладання куль у контексті укладання гарматних ядер і розглянув ГЦК ґратку: гарматні ядра зазвичай укладалися в прямокутні чи трикутні дерев'яні каркаси, утворюючи тристоронні або чотиристоронні піраміди; обидві укладання дають гранецентровану кубічну ґратку та відрізняються лише орієнтацією щодо основи. Шестикутне щільне пакування призводить до шестикутної піраміди. У зв'язку з укладанням гарматних ядер відоме й [[Задача про гарматні ядра|однойменна задача]] теорії чисел.

== Див. також ==
* [[Контактне число]]&nbsp;— скільки однакових куль можна розташувати навколо однієї такої ж центральної кулі, щоб усі вони дотикалися до неї?
* [[Задача про найрідше покриття]]&nbsp;— як [[Оптимізація (математика)|найекономніше]] розташувати однакові кулі в просторі, щоб кожна точка простору виявилася всередині або на межі хоча б однієї з них? (На відміну від [[задача про найщільніше пакування|задачі про найщільніше пакування]] (неперекривних куль), тут кулі обов'язково перекриваються.)
* [[Алгоритм Любачевського — Стілінжера]] евристично знаходить щільні пакування куль і кіл, причому ці пакування часто виявляються оптимальними
* [[Комірки Бенара]]
* [[Сингонія]]
* [[Кубічна сингонія]]
* [[Паралелоедр]]<br/>
* [[Гіпотеза Кеплера]]<br/>
* [[Індекси Міллера]]
* {{нп5|Константа Ерміта|||Hermite constant}}
* {{нп5|Випадкове щільне пакування|||Random close pack}}
* [[Найбільша порожня сфера]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{стаття
|посилання=http://www.nature.com/nature/journal/v424/n6944/full/424012a.html
|заголовок=Mathematics: Does the proof stack up?
|том=424
|doi=10.1038/424012a 
|видання=Nature
|автор=George Szpiro
|ref=Szpiro
|місяць=July
|рік=2003
}}
* {{стаття
|ref=Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska
|рік=2017
|місяць=02
|заголовок=The sphere packing problem in dimension 24
|автор=Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska
|посилання=
|arXiv=1603.06518v2
}}
* {{книга
|автор=[[Джон Конвей|John Horton Conway]], [[Ніл Слоун|Neil James Alexander Sloane]]
|ref=Conway, Sloane
|заголовок=Sphere packings, lattices, and groups
|видавництво=Springer
|рік=1998
|том=290
|серія=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
|частина=Section 6.3
|isbn=0-387-98585-9
|url-access=registration
|url=https://archive.org/details/spherepackingsla0000conw_b8u0
}}
* {{стаття
|автор=William Barlow
|ref=Barlow
|заголовок=Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals
|видання=Nature
|рік=1883
|том=29
}}
* {{cite web
|url=http://www.grunch.net/synergetics/sphpack.html
|title=on Sphere Packing
|publisher=Grunch.net
|ref=Grunch.net
|accessdate=2014-06-12
|archive-date=20 березня 2015
|archive-url=https://web.archive.org/web/20150320124700/http://www.grunch.net/synergetics/sphpack.html
}}
* {{книга
|заголовок=Foams, Structure and Dynamics
|автор=Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois
|ref=Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner и др.
|видавництво=Oxford University Press
|місце=Oxford
|рік=2013
|isbn=9780199662890
}}
{{refend}}

== Посилання ==
* {{ref-en}} [http://www.iucr.org/__data/assets/pdf_file/0015/13254/5.pdf P. Krishna & D. Pandey, «Close-Packed Structures» International Union of Crystallography by University College Cardiff Press. Cardiff, Wales. PDF] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170829054741/http://www.iucr.org/__data/assets/pdf_file/0015/13254/5.pdf |date=29 серпня 2017 }}
* {{ref-ru}} {{стаття |автор=Д. К. |заголовок=Новая головоломка: укладывание шариков в куб |видання=[[Квант (журнал)|Квант]] |рік=1990 |номер=5 |сторінки=82 |посилання=http://kvant.mccme.ru/1990/05/novaya_golovolomka_ukladyvanie.htm}}

[[Категорія:Дискретна геометрія]]
[[Категорія:Кристалографія]]