Перегляд вихідного коду сторінки Шестикутник

{{unibox}}[[Файл:Шестикутник та його діагональ.png|міні|402x402пкс|Шестикутник ABCDEF та його діагональ АЕ]]
В [[Геометрія|геометрії]] '''шестику́тник''' — планіметрична фігура, [[многокутник]], що має шість сторін, шість вершин та шість кутів.

Також можливе альтернативне визначення:

'''Шестику́тник''' — це частина площини, обмежена ''простою замкнутою'' [[Ламана|ламаною]], яка містить шість ланок (має шість кутів). <ref>{{Cite web|title=Академічний тлумачний словник української мови: в 11 томах. — Том 11, 1980. — Стор. 447. права колонка|url=http://sum.in.ua/p/11/447/2|website=sum.in.ua|accessdate=2023-08-22}}</ref> Вона складається з шести [[Точка|точок]] ('''[[Вершина (геометрія)|вершин]]''' шестикутника), послідовно з'єднаних шістьма [[Відрізок|відрізками]] ('''сторони''' або '''[[Ребро (геометрія)|ребра]]''' шестикутника). При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій.

Шестикутник позначають, записуючи послідовно його вершини. Наприклад, так: ABCDЕF.

Вершини шестикутника називаються '''сусідніми''', якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, що сполучають несусідні вершини шестикутника, називаються його [[Діагональ|діагоналями]].

Сторони шестикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами.

Шестикутник може бути [[Простий многокутник|простим]] (без самоперетинів; може бути [[Опуклий многокутник|опуклим]] та вгнутим) або {{нп|Список схрещених багатокутників|схрещеним|en|list of self-intersecting polygons}}(з самоперетином). Також існують просторові шестикутники (якщо вищезгадана [[ламана]] знаходиться не в [[Площина|площині]], а в [[Евклідів простір|просторі]]).

Сума довжин усіх сторін шестикутника називається [[Периметр|периметром]].

Сума [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]] [[Простий багатокутник|простого шестикутника]] дорівнює 720°.

: <math> \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 4  \cdot 180^\circ = 720 ^\circ </math>

== Площа шестикутника без самоперетинів ==
Площа довільного шестикутника без самоперетинів, що заданий координатами своїх вершин, визначається за [[Формула площі Гаусса|формулою площі Гаусса]], загальною для багатокутників .

== Опуклий шестикутник ==
[[Файл:Опуклий шестикутник.png|ліворуч|міні|271x271пкс|Опуклий шестикутник]]
'''Опуклим шестикутником''' називається такий шестикутник, всі точки якого лежать по один бік від будь-якої прямої, що проходить через  дві його сусідні вершини.

Можливі також альтернативні визначення.

'''Опуклим шестикутником''' називається

— шестикутник, який обмежує [[Опукла множина|опуклу множину]]. Тобто для будь-яких двох точок шестикутника відрізок, що їх сполучає, повністю належить шестикутнику.

— шестикутник такий, що всі його [[Діагональ|діагоналі]] повністю лежать всередині нього.

[[Внутрішній та зовнішній кути|Внутрішній кут]] <math>\alpha</math> опуклого шестикутника — кут між двома його сусідніми сторонами. Будь-який внутрішній кут опуклого шестикутника менше 180°.

Сума [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]] опуклого шестикутника дорівнює <math> \sum {\alpha =} (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ = 4\pi </math> [[радіан]].

[[Внутрішній та зовнішній кути|Зовнішній кут]] <math> \beta</math> — кут, що [[Суміжні кути|суміжний]] внутрішньому.

Як і у всіх полігонів, сума зовнішніх кутів (по одному при кожній стороні) становить <math> 360^\circ = 2\pi</math>  [[радіан]].

Кількість діагоналей опуклого шестикутника <math> k = \frac{6\cdot (6-3)}{2} = 9</math> (З кожної вершини можна провести 3 діагоналі). Три діагоналі, що сполучають протилежні вершини шестикутника, називають головними діагоналями. Діагоналі, що виходять з однієї вершини, розбивають шестикутник на 4 трикутники.

Серед 17 точок в [[Загальне положення|загальному положенні]] на [[Площина|площині]], серед яких ніякі 3 не лежать на одній [[Пряма|прямій]], завжди знайдеться 6 точок, які є вершинами опуклого шестикутника. Цей розв'язок [[Задача зі щасливим кінцем|задачі зі щасливим кінцем]] був знайдений за допомогою комп'ютерного перебору можливих конфігурацій.<ref name=":0">{{Стаття
|автор =George Szekeres, Lindsay Peters
|заголовок = Computer solution to the 17-point Erdős-Szekeres problem
|url=https://www.researchgate.net/publication/231909976_Computer_solution_to_the_17-point_Erdos-Szekeres_problem
|рік = 2006
|номер=48(02)
|сторінок = 151 - 164
|doi=10.1017/S144618110000300X
|журнал=The ANZIAM Journal 
|мова=англ.}} </ref>

=== [[Конкурентні прямі]] та [[Колінеарність|колінеарні точки]] ===
[[Файл:Конкурентні прямі та колінеарні точки в опуклому шестикутнику.png|міні|573x573px|Конкурентні прямі та колінеарні точки в опуклому шестикутнику]]
'''Теорема 1'''

Нехай ''А''<sub>1</sub>''А''<sub>2</sub>''А''<sub>3</sub>''А''<sub>4</sub>''А''<sub>5</sub>''А''<sub>6</sub> — [[Опуклий многокутник|опуклий]] шестикутник. Три головні діагоналі в шестикутнику ''А''<sub>1</sub>''А''<sub>4</sub>, ''А''<sub>2</sub>''А''<sub>5</sub> і ''А''<sub>3</sub>''А''<sub>6</sub> перетинаються в одній точці, [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли: <ref name=":2">{{citation
|author=Nicolae Anghel
|title= “Concurrency and Collinearity in Hexagons” |url=http://dynamicmathematicslearning.com/concurrency-collinearity-hexagons-anghel.pdf
|journal=Journal for Geometry and Graphics
|volume=20:2|year=2016|pages=159–171 | мова= англ.
|issn= 1433-8157}}.</ref> {{rp|стор.160}}

<math display="block">\sin\left ( \alpha+ \alpha ^+ \right ) \cdot \sin\left ( \beta+ \beta ^+ \right ) \cdot \sin\left ( \gamma+ \gamma ^+ \right )
\cdot \sin \alpha ^- \cdot \sin \beta ^- \cdot \sin \gamma ^-   = 
\sin\left ( \alpha+ \alpha ^- \right ) \cdot \sin\left ( \beta+ \beta ^- \right ) \cdot \sin\left ( \gamma+ \gamma ^- \right )
\cdot \sin \alpha ^+ \cdot \sin \beta ^+ \cdot \sin \gamma ^+</math>'''Теорема 2'''


Нехай в [[Опуклий многокутник|опуклому]] шестикутнику ''А''<sub>1</sub>''А''<sub>2</sub>''А''<sub>3</sub>''А''<sub>4</sub>''А''<sub>5</sub>''А''<sub>6</sub> прямі ''А''<sub>1</sub>''А''<sub>2</sub> та ''А''<sub>4</sub>''А''<sub>5</sub> перетинаються в точці K,  прямі ''А''<sub>1</sub>''А''<sub>3</sub> та ''А''<sub>4</sub>''А''<sub>6</sub> перетинаються в точці L, a прямі ''А''<sub>2</sub>''А''<sub>3</sub> та ''А''<sub>6</sub>''А''<sub>5</sub> перетинаються в точці M. Тоді, точки K, L, M [[Колінеарність|колінеарні]], тобто лежать на одній прямій, [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли: <ref name=":2" /> {{rp|стор.165}}<math display="block">\sin\left ( \alpha+ \alpha ^+ \right ) \cdot \sin\left ( \beta+ \beta ^+ \right ) \cdot \sin\left ( \gamma+ \gamma ^+ \right )
\cdot \sin \alpha ^- \cdot \sin \beta ^- \cdot \sin \gamma ^-   = 
\sin\left ( \alpha+ \alpha ^- \right ) \cdot \sin\left ( \beta+ \beta ^- \right ) \cdot \sin\left ( \gamma+ \gamma ^- \right )
\cdot \sin \alpha ^+ \cdot \sin \beta ^+ \cdot \sin \gamma ^+</math>

=== Рівносторонні трикутники на сторонах шестикутника ===
[[Файл:Equilateral_in_hexagon.svg|міні|223x223пкс|Рівносторонні трикутники на сторонах довільного шестикутника]]
Якщо на кожній стороні будь-якого шестикутника зовні побудувати рівносторонній трикутник, то середини відрізків, що з’єднують центроїди протилежних трикутників, утворюють інший рівносторонній трикутник. <ref>{{cite journal|author=Dao Thanh Oai|date=2015|title=Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html|journal=Forum Geometricorum|volume=15|pages=105–114|archive-url=https://web.archive.org/web/20150705033424/http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html|archive-date=2015-07-05|access-date=2015-04-12|url-status=live}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150705033424/http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html |date=2015-07-05 }}</ref> {{rp|Теорема 1}} 
{{-}}
== Шестикутник вписаний в коло ==
[[Файл:Вписаний шестикутник.png|ліворуч|міні|305x305пкс|Вписаний в коло шестикутник]]
Шестикутник називається '''вписаним''' в деяке коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. При цьому коло називається ''описаним'' навколо шестикутника.

Центр описаного навколо шестикутника кола лежить на перетині  [[Серединний перпендикуляр|серединних перпендикулярів]] (або медіатрис) до всіх його сторін.

Аналогічно до [[Вписаний чотирикутник|вписаного чотирикутника]], для вписаного шестикутника справедливі твердження: <ref>{{citation|first=Duncan|last=Gregory|title=Geometrical Theorem|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=1|year=1836|pages=92}}.</ref> <ref name=":1">{{citation
|author=Michael de Villiers
|title=A unifying generalization of Turnbull's theorem |url=http://dynamicmathematicslearning.com/generalization-turnbull.pdf
|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
|volume=24:2|year=1993|pages=191-196
|doi=10.1080/0020739930240204}}.</ref>
# Суми трьох несусідніх [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]] вписаного шестикутника рівні: <math>\angle A +\angle C + \angle E = \angle B +\angle D + \angle F = 360^\circ</math> .
# Якщо суми трьох несусідніх внутрішніх кутів опуклого шестикутника дорівнюють 360°, то існує шестикутник з такими ж кутами, навколо якого можна описати коло.

Три діагоналі вписаного шестикутника, що сполучають його протилежні вершини, перетинаються в одній точці якщо: <big><math> a \cdot c \cdot e = b \cdot d \cdot f </math></big>  <ref name=":2" /> {{rp|стор.167}} <ref>Cartensen, Jens, "About hexagons", ''Mathematical Spectrum'' 33(2) (2000–2001), 37–40.</ref> <ref>{{Cite web|title=BMO dual corollary general|url=http://dynamicmathematicslearning.com/bmo-dual-general.html|website=dynamicmathematicslearning.com|accessdate=2023-08-23}}</ref>  . 

''де a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f —'' довжини послідовних сторін шестикутника.

Нехай ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>, ''p''<sub>4</sub>, ''p''<sub>5</sub>, ''p''<sub>6</sub> — відстані від довільної  точки M [[Описане коло|описаного кола]] до сторін ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DE, EF, AF'' відповідно. Тоді виконується рівність:

''p''<sub>1</sub>''p''<sub>3</sub> ''p''<sub>5</sub>  = ''p''<sub>2</sub>''p''<sub>4</sub>''p''<sub>6</sub>.

[[Файл:Вписаний шестикутник1.png|міні|233x233пкс]]
Вписаний шестикутник (як і будь-який вписаний багатокутник) можна розбити на [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]], вершини яких лежать в центрі описаного кола, а бокові сторони є радіусами кола, що проходять через його вершини.

[[Файл:Lemoine hexagon1.svg|ліворуч|міні|Шестикутник Лемуана]]
{{Не перекладено|Шестикутник Лемуана|Шестикутник Лемуана|en|Lemoine hexagon}} — це вписаний в коло шестикутник, вершини якого є точками перетину сторін [[Трикутник|трикутника]] з прямими, що паралельні до його сторін і проходять через його [[Точка Лемуана|точку Лемуана]].

Шестикутник Лемуана з самоперетинами є [[Зіркоподібний многокутник|зіркоподібним]], його ядром є лише одна точка.{{clear}}
=== Теорема Дао ===
Нехай на сторонах вписаного шестикутника побудовані зовнішнім чином трикутники, шляхом продовження сторін шестикутника до їх взаємного перетину. Тоді відрізки, що з'єднують центри описаних кіл протилежних трикутників перетинаються в одній точці. ('''Теорема Дао''')<ref>{{cite journal|author=Dergiades, Nikolaos|date=2014|title=Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=14|pages=243–246|archive-url=https://web.archive.org/web/20141205210609/http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html|archive-date=2014-12-05|access-date=2014-11-17|url-status=live}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141205210609/http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html |date=2014-12-05 }}</ref> 

'''<big>Наслідок теореми 1 та 2 про конкурентні прямі опуклого шестикутника:</big>'''

Нехай вершини цих трикутників , що не належать сторонам вписаного шестикутника позначені як ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ''B''<sub>4</sub>, ''B''<sub>5</sub>, ''B''<sub>6</sub>  Тоді, головні діагоналі шестикутника ''B''<sub>1</sub>''B''<sub>2</sub>''B''<sub>3</sub>''B''<sub>4</sub>''B''<sub>5</sub>''B''<sub>6</sub> (ті, що з'єднують протилежні вершини, тобто ''B''<sub>1</sub>''B''<sub>4</sub>, ''B''<sub>2</sub>''B''<sub>5</sub>, ''B''<sub>3</sub>''B''<sub>6</sub> ) перетинаються в одній точці.  <ref name=":2" /> {{rp|стор.167}}

=== Теорема Фурмана для вписаного шестикутника ===
[[Файл:Теорема Фурмана для вписаного шестикутника.png|ліворуч|міні|Теорема Фурмана]]
Також її називають [[Теорема Птолемея|теоремою Птолемея]] для вписаного шестикутника. 

Нехай протилежні сторони вписаного шестикутника дорівнюють <math>a, a'</math>  , <math>b, b'</math> та <math>c, c'</math>. І нехай головні (ті, що сполучають протилежні вершини) діагоналі шестикутника дорівнюють  <math>e</math>  , <math>f</math> та <math>g</math> (e лежить між сторонами <math>a</math> та <math>a'</math>, f лежить між сторонами <math>b</math> та <math>b'</math>,  g лежить між сторонами <math>c</math> та <math>c'</math>). Тоді виконується рівність: <ref>{{Cite web|title=Fuhrmann's Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/|website=mathworld.wolfram.com|accessdate=2023-08-24|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein}}</ref>  <ref >{{citation
|author=A. V. Kostin
|title= “On generalizations of Ptolemy's theorem on the Lobachevsky plane”
|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=semr&paperid=1511&option_lang=eng
|journal=Siberian Electronic Mathematical Reports (Sib. Èlektron. Mat. Izv.)
|volume=19:2|year=2022|pages=404–414 | мова= <sub>''r''</sub>u
|doi=10.33048/semi.2022.19.035}}.</ref>

<math>e\cdot f \cdot g = a\cdot a' \cdot e + b\cdot b' \cdot f + c\cdot c' \cdot g  + a\cdot b \cdot c +a'\cdot b' \cdot c' </math>

Рівність також справедлива, якщо всі шість точок A, B, C, D, E, F лежать на одній прямій.

Якщо шестикутник не є вписаним в коло, то добуток діагоналей буде менше виразу, що стоїть в правій частині.{{clear}}

=== [[Теорема Паскаля]] ===
[[Файл:Teorema paskalya.png|міні|Теорема Паскаля]]Якщо шестикутник вписано в [[коло]], чи будь-який інший [[Конічні перетини|конічний перетин]] ([[еліпс]], [[Парабола|параболу]], [[Гіпербола (математика)|гіперболу]], пару прямих), то точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій. <ref> {{citation | last1=Stefanovic | first1=Nedeljko | title=A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications| url=https://www.ias.ac.in/article/fulltext/pmsc/120/05/0619-0629 | year=2010| publisher=Indian Academy of Sciences}}</ref>  <ref>{{eom|title=Pascal theorem|first=P.S. |last=Modenov|first2=A.S. |last2=Parkhomenko}}</ref>

Теорема Паскаля двоїста до [[Теорема Бріаншона|теореми Бріаншона]].{{clear}}
== Шестикутник описаний навколо кола ==
[[Файл:Описаний шестикутник.png|ліворуч|міні|303x303пкс|Описаний шестикутник]]
Шестикутник називається '''описаним''' навколо деякого кола, якщо це коло дотикається до всіх сторін шестикутника. При цьому коло називається [[Вписане коло|вписаним]] в шестикутник.

Центр вписаного в шестикутник кола лежить на перетині [[Бісектриса|бісектрис]] його [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]]. І навпаки, якщо всі бісектриси внутрішніх кутів деякого шестикутника перетинаються в одній точці, то в цей шестикутник можна вписати [[коло]] з центром в цій точці.

В шестикутник можна вписати коло радіусом ''<big>r</big>'', якщо виконується рівність:<ref name=":1" />  <ref>{{Cite web|title="Hexagon, Inscribed Circle, Tangent, Semiperimeter",Problem 343|url=https://gogeometry.com/problem/p343_circumscribed_hexagon_tangent_semiperimeter.htm|website=gogeometry.com|accessdate=2023-08-22|last=Gutierrez, Antonio|language=англ}}</ref>

<big><math> a + c + e = b + d + f </math></big>

Якщо суми трьох несуміжних сторін дорівнює сумі трьох інших його сторін, то існує шестикутник з такими ж сторонами, в який можна вписати коло.

[[Діагональ|Діагоналі]] ,що сполучають протилежні вершини описаного шестикутника, перетинаються в одній точці.



Радіус вписаного кола <ref>Alsina, Claudi and Nelsen, Roger,''Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images'', Mathematical Association of America, 2011, p. 125.</ref> : <math>r = \frac{S}{p} =\frac{2S}{a+b+c+d+e+f}</math>

де S - [[площа]] шестикутника, p - [[півпериметр]].

=== [[Теорема Бріаншона]] ===
[[Файл:Brianchon-6-tangents.svg|ліворуч|міні|306x306пкс|Теорема Бріаншона]]
Якщо шестикутник описано навколо кола, чи будь-якого іншого конічного перетину ([[еліпс|еліпса]], [[Парабола|параболи]], [[Гіпербола (математика)|гіперболи]], пари прямих), то три діагоналі, що з'єднують протилежні вершини цього шестикутника, проходять через одну точку.

Теорема є двоїстою до [[Теорема Паскаля|теореми Паскаля]].{{clear}}

== Рівносторонні та рівнокутні шестикутники ==

{{multiple image|align=left|total_width=700
|image1=Hexagons qtl2.svg
|caption1= Приклади рівносторонніх шестикутників
|image2=Hexagons qtl1.svg
|caption2= Приклади рівнокутних шестикутників}}











{{clear}}
У [[Рівнокутний многокутник|рівнокутному]] шестикутнику кожен кут дорівнює <math>180^\circ-\tfrac{360^\circ}{6} = 120^\circ</math>.

Для рівнокутних шестикутників виконується [[теорема Вівіані]]:  <ref>{{citation
|author=Elias Abboud
|title=On Viviani’s Theorem and its Extensions |url=https://arxiv.org/abs/0903.0753v3
|journal=College Mathematics Journal
|year=2009 |volume=41 |номер=3
|doi=10.48550/arXiv.0903.0753
}}</ref>{{rp|стор.2, 11}}

: ''Сума відстаней від внутрішньої точки до сторін рівнокутного шестикутника не залежить від розташування точки і є інваріантом багатокутника.''

Рівнокутний [[шестикутник]] з цілими довжинами сторін можна поділити на [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]. <ref name="ball">{{Стаття|author=Derek Ball|title=Equiangular polygons|видання=The Mathematical Gazette|том=86|issue=507|date=2002|pages=396—407}}</ref>.

Вписаний шестикутник рівнокутний [[тоді й лише тоді]], коли сторони, що чергуються, рівні <ref>{{citation
|author=De Villiers, Michael
|title=Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons |url=https://www.jstor.org/stable/23248632
|journal=Mathematical Gazette
|year=2011 |volume=95|номер=532 |pages=102—107 
}}</ref> . Прикладами можуть бути [[правильний шестикутник]] та [https://polytope.miraheze.org/wiki/Ditrigon дітригон].

Описаний шестикутник є рівностороннім в [[Тоді й лише тоді|тому і тільки в тому]] випадку, коли його кути через один рівні. Прикладами можуть бути [[правильний шестикутник]] та [https://polytope.miraheze.org/wiki/Triambus тріамбус].

[[Правильний шестикутник]] є одночасно рівнокутним та рівностороннім.

Кожна головна діагональ [[Шестикутник|шестикутника]] ділить його на чотирикутники. В будь-якому опуклому рівносторонньому шестикутнику із стороною <math>a</math> існує <ref>[http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf  ''Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum»''] стор.184,#286.3</ref> головна діагональ <math>d_1</math>, така що:
 
: <math>\frac{d_1}{a} \leqslant 2</math>,

і головна діагональ <math>d_2</math>, така, що:

: <math>\frac{d_2}{a} > \sqrt{3}</math>.

Існує скінченна послідовність елементарних [[Відбиття (геометрія)|відбиттів]], які переводять будь-який рівносторонній шестикутник у правильний<ref>{{Стаття|author=Godfried Toussaint|title=The Erds–Nagy theorem and its ramifications|url=http://ac.els-cdn.com/S0925772104001373/1-s2.0-S0925772104001373-main.pdf?_tid=90f45c9a-bdee-11e4-9c81-00000aab0f6c&acdnat=1424979486_3c1a1fd8e17cc80a86b1e31d6997f3d2|видання=Computational Geometry|issue=31|date=2005|pages=219-236}}</ref><ref>{{Стаття|author=Kenneth C. Millett|title=Knotting of regular polygons in 3-space|видання=Journal of Knot Theory and Its Ramifications|том=3|issue=3|date=1994|pages=263-278}}</ref>.

[[Файл:Centrosymmetric hexagonal tiling.svg|міні|303пкс|[[Теселяція|Замощення площини]] шестикутними зоногонами.]] Опуклий шестикутник, у якого протилежні сторони та кути рівні, є [[Зоногон|зоногоном]]. Шестикутні зоногони є [[Паралелогон|паралелогонами]], тобто однаковими копіями шестикутних зоногонів можна [[Теселяція|замостити]] площину без проміжків та накладень. <ref>{{citation
|author=Alexandrov, A. D. 
|title=Convex Polyhedra |url=https://books.google.com.ua/books?id=R9vPatr5aqYC&pg=PA351&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
|видавництво=Springer Science & Business Media
|year=2005|pages=542: стор.351
|isbn=9783540231585
}}</ref> 

[[Гарольд Коксетер]] стверджує, що кожен [[зоногон]] (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на <math>\binom{m}{2} = \frac{m\cdot (m-1)}{2}
</math> [[Паралелограм|паралелограмів]]. <ref>[[Coxeter]], Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141</ref>. У випадку правильного шестикутника,  паралелограми є [[Ромб|ромбами]].
{| class="wikitable collapsible" style="text-align:center;"
! colspan="12" |Розбиття шестикутника на ромби та паралелограми
|-
! rowspan="3" |2D
!Ромби
! colspan="3" |Паралелограми
|- valign="top"
|[[Файл:Hexagon_dissection.svg|92x92пкс]]
|[[Файл:Cube-skew-orthogonal-skew-solid.png|95x95пкс]]
|[[Файл:Cuboid_diagonal-orthogonal-solid.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Cuboid_skew-orthogonal-solid.png|120x120пкс]]
|- valign="top"
|[[Правильний шестикутник|Правильний]] {6}
| colspan="3" |Шестикутні [[Паралелогон|паралелогони]]
|}

== Правильний шестикутник ==
{{main|Правильний шестикутник}}
[[Файл:Regular polygon 6 annotated.svg|міні|Правильний шестикутник]]
'''Правильний шестикутник (гексагон)''' — це [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]] з шістьма сторонами.

'''Правильний шестикутник'''  — опуклий [[шестикутник]], у якого всі сторони і кути рівні.

[[Внутрішній та зовнішній кути|Внутрішній кут]] правильного шестикутника дорівнює 120°. [[Центральний кут]] дорівнює 60°.

Правильний шестикутник є унікальним ([[Точність до|в межах]] подібності) серед шестикутників, оскільки він рівносторонній, і всі його шість кутів рівні між собою. Він є вписаним і описаним одночасно.

Особливість правильного шестикутника&nbsp;— рівність його сторони і [[радіус]]а описаного навколо нього [[Коло|кола]]. 

''Правильний шестикутник'' має шість ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] 6-го порядку (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°). Має центр симетрії.

''Правильний шестикутник'' сторони якого перетинаються (або ''[[Зірка (геометрія)|зірковий]] шестикутник'') називається [[Гексаграма|гексаграмою]].

== Неопуклі та зірчасті шестикутники ==

=== [[Теорема Паппа]] ===
[[Файл:Teorema pappa.png|ліворуч|міні|Теорема Паппа]]
Нехай точки ''А'', ''В'', ''С'' лежать на  одному боці кута, а точки ''А''<sub>1</sub>, ''В''<sub>1</sub>, ''С''<sub>1</sub>  – на іншому. Якщо прямі ''АВ''<sub>1</sub> та ''А''<sub>1</sub>''В'' перетинаються у точці М, ''АС''<sub>1</sub> та ''А''<sub>1</sub>''С'' – у точці L, а ''ВС''<sub>1</sub> та ''В''<sub>1</sub>''С'' – у точці К, то точки К, L, М лежать на одній прямій.

Теорема Паппа є виродженим випадком в [[Теорема Паскаля|теоремі Паскаля]]: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у [[Конічні перетини|конічний перетин]] шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа.





{{clear}}

=== Шестикутники з самоперетинами ===
Наступні шість шестикутників з самоперетином мають розташування вершин як у правильному шестикутнику:
{| class="wikitable" style="width:400px; text-align:center;"
|+
! colspan="3" |Dih<sub>2</sub>
! colspan="2" |Dih<sub>1</sub>
! colspan="3" |Dih<sub>3</sub>
!Dih<sub>6</sub>
|- valign="top"
| rowspan="2" |[[Файл:Crossed_hexagon1.svg|100x100пкс]]<br />Вісімко-подібний шестикутник
| rowspan="2" |[[Файл:Crossed_hexagon2.svg|100x100пкс]]<br />Схрещений шестикутник
| rowspan="2" |[[Файл:Crossed_hexagon3.svg|100x100пкс]]<br />[[Унікурсальна гексаграма]]
| rowspan="2" |[[Файл:Crossed_hexagon4.svg|100x100пкс]]<br />Шестикутник - риб'ячий хвіст
| rowspan="2" |[[Файл:Crossed_hexagon5.svg|100x100пкс]]<br />Шестикутник - одвійний хвіст
|[[Файл:Crossed_hexagon6.svg|100x100пкс]]<br />Шестикутник - потрійний хвіст
|[[Файл:Regular truncation 3 1.5.svg|100x100пкс]]<br />[https://polytope.miraheze.org/wiki/Tripod Тріпод]
|[[Файл:Regular truncation 3 0.55.svg|100x100пкс]]<br />[https://polytope.miraheze.org/wiki/Propeller_tripod Пропелерний тріпод]
| rowspan="2" |[[Файл:Regular hexagram.svg|100x100пкс]][[Гексаграма|Правильна гексаграма]] 2{3}
|-
| colspan="3" |[[Зрізання (геометрія)|Гіперзрізані]] трикутники
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;" width=400
|-
|[[File:Crossed-square hexagon.png|80px]]
| [[File:Medial triambic icosahedron face.svg|80px]]
| [[File:Great triambic icosahedron face.svg|80px]]
|-
|Схрещений шестикутник
|Неопуклий шестикутник
|Зірчастий шестикутник
|}

[[Файл:Hexagram.svg|міні|Гексаграма]]
Шестикутник з самоперетинами, що має рівні сторони та кути, а вершини розташовані як вершини [[Правильний шестикутник|правильного шестикутника]] називається '''[[Гексаграма|гексаграмою]]'''. Гексаграма є єдиною [[Зірчатий многокутник|зірчастою формою]] правильного шестикутника і утворена поєднанням двох протилежно орієнтованих [[Правильний трикутник|правильних трикутників]]. Має повну [[Діедральна група|діедральну симетрію]] D<sub>6</sub>  (Dіh<sub>6</sub>) правильного шестикутника.





{{clear}}

== Просторовий шестикутник ==
[[Файл:Skew_polygon_in_triangular_antiprism.png|міні|171x171пкс|Правильний просторовий шестикутник в ребрах та вершинах трикутної антипризми.Симетрія D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3), порядок 12.]]
'''Просторовий''' (або '''косий''') '''шестикутник''' це [[Просторовий многокутник|просторовий]] замкнутий багатокутник з шістьма вершинами та шістьма ребрами, що не належать одній площині. Внутрішня частина такого шестикутника не визначена. 

'''Просторовий зигзагоподібний шестикутник''' має вершини, що чергуються в двох [[Паралельність|паралельних]] [[Площина|площинах]].
[[Файл:Cube petrie polygon sideview.svg|ліворуч|міні|223x223пкс|Правильний просторовий  шестикутник є багатокутником перті куба]]
Правильний просторовий шестикутник є [[Ізогональність|вершинно-транзитивним]] з рівними довжинами ребер. А отже, також є зигзагоподібним. В тілах тривимірного простору косий правильний шестикутник можна побачити в вершинах та ребрах [https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Октаедр&veaction=edit&section=8 трикутної антипризми] з симетрією D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6] , порядок 12. [[Куб]] і [[октаедр]] (те саме, що трикутна [[антипризма]]) мають правильні косі шестикутники як {{нп|Багатокутник Петрі|багатокутники Петрі|en|Petrie polygon}}.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+Просторовий шестикутник на осях 3-кратної симетрії
|[[Файл:Cube_petrie.png|131x131пкс]][[Куб|Куба]]
|[[Файл:Octahedron_petrie.png|125x125пкс]][[Октаедр|Октаедра]]
|}

=== Багатокутники Петрі ===
Правильний косий шестикутник є {{нп|Багатокутник Петрі|багатокутником Петрі|en|Petrie polygon}}   для наступних правильних, [[Однорідний многогранник|однорідних]] та [[Дуальний многогранник|двоїстих багатогранників]] та [[Політоп|політопів]] в просторах високої розмірності, показаних в косих [[Ортогональна проєкція|ортогональних проєкціях]]:
{| class="wikitable" style="width:360px; text-align:center;"
! colspan="2" |4D
!5D
|- valign="top"
|[[Файл:3-3_duoprism_ortho-Dih3.png|109x109пкс]]{{Не перекладено|3-3 дуопризима|3-3 дуопризима|en|3-3 duoprism}}
|[[Файл:3-3_duopyramid_ortho.png|103x103пкс]]{{Не перекладено|3-3 дуопризима|3-3 дуопризима|en|3-3 duoprism}}
|[[Файл:5-simplex_t0.svg|100x100пкс]][[Гексатерон|5-симплекс]]
|}

== Замощення площини шестикутними паркетами ==
Шестикутники з симетріями '''g2''', '''i4''', та '''r12''', як [[Паралелогон|паралелогони]], можуть [[Теселяція|замостити площину]] власними копіями, отриманими тільки за допомогою [[Паралельне перенесення|паралельного перенесення]]. Інші форми шестикутних паркетів можуть заміщувати площину в різних орієнтаціях.  
{| class="wikitable"
!p6m (*632)
!cmm (2*22)
!p2 (2222)
!p31m (3*3)
! colspan="2" |pmg (22*)
!pg (××)
|-
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-13.svg|120x120пкс]][[Шестикутний паркет|r12]]Паркет з правильних шестикутників
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-12.png|120пкс]]i4
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-7.svg|120пкс]]g2
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-11.png|120пкс]]d2
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-10.png|120пкс]]d2
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-9.svg|120пкс]]p2
![[Файл:Isohedral_tiling_p6-1.png|120пкс]]a1
|- valign="top"
!Dih<sub>6</sub>
!Dih<sub>2</sub>
!Z<sub>2</sub>
! colspan="3" |Dih<sub>1</sub>
!Z<sub>1</sub>
|}
{| class="wikitable"
|+13 ізоедральних шестикутників, що замощують площину
! colspan="2" |pg (××)
!p2 (2222)
!p3 (333)
! colspan="2" |pmg (22*)
|- align="center"
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-1.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-2.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-3.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral tiling p6-8.svg|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-9.svg|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-10.png|100пкс]]
|- align="center"
! colspan="3" |pgg (22×)
!p31m (3*3)
!p2 (2222)
!cmm (2*22)
!p6m (*632)
|- align="center"
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-4.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-5.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-8.svg|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-11.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-7.svg|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-12.png|100пкс]]
|[[Файл:Isohedral_tiling_p6-13.svg|100пкс]]
|}
Існує 3 типи моноедральних опуклих гексагональних плиток, які своїми копіями замощують площину.<ref>Tilings and Patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons</ref> Всі вони [[Ізоедральне тіло|ізоедральні]]. Кожна має параметричні варіації в межах фіксованої симетрії. Тип 2 містить [[Ковзна симетрія|ковзну симетрію]] та є 2-ізоедральним, що зберігає різні хіральні пари.
{| class="wikitable"
|+3 типи моноедральних опуклих шестикутних паркетів
!1
! colspan="2" |2
!3
|-
!p2, 2222
!pgg, 22×
!p2, 2222
!p3, 333
|-
|[[Файл:P6-type1.svg|120пкс]]
|[[Файл:P6-type2.svg|120пкс]]
|[[Файл:P6-type2-chiral_coloring.png|120пкс]]
|[[Файл:P6-type3.svg|120x120пкс]]
|- align="center"
|[[Файл:Prototile_p6-type1.png|120пкс]]b = e
B + C + D = 360°
| colspan="2" |[[Файл:Prototile_p6-type2.png|120пкс]]b = e, d = f
B + C + E = 360°
|[[Файл:Prototile_p6-type3.png|120x120пкс]]a = f, b = c, d = e
B = D = F = 120°
|- align="center"
|[[Файл:Lattice_p6-type1.png|120пкс]]2-х плиткова решітка
| colspan="2" |[[Файл:Lattice_p6-type2.png|120пкс]]4-х плиткова решітка
|[[Файл:Lattice_p6-type3.png|120x120пкс]]3-х плиткова решітка
|}
Також існують паркети з кількома типами зоногонів. 
{| class="wikitable"
!Замощення чотирикутними 
і шестикутними зоногонами
!Замощення чотирикутними , шестикутними
і восьмикутними зоногонами
|- align="center" valign="top"
|[[Файл:Замощение плоскости четырёхугольными и шестиугольными зоногонами.svg|400пкс]]
|[[Файл:Первое замощение плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.svg|400пкс]]
|}
{{-}}

== Див. також ==
* [[Гексаграма (символ)|Гексаграма]]&nbsp;— шестипроменева зірка, утворена двома рівносторонніми трикутниками, є, зокрема, символом [[юдаїзм]]у.
* [[Унікурсальна гексаграма]]
* {{Нп|Шестикутник Лемуана|||Lemoine hexagon}} 
* [[Шестикутний паркет]] 
* [[Шестикутна ґратка]] 
* [[Гексагональна сингонія]] 
* [[Шестикутне число|Шестикутні числа]] 

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
*{{MathWorld|urlname=Hexagon|title=Hexagon}}
*{{MathWorld|urlname=CyclicHexagon|title=Cyclic Hexagon}}
* [https://hexnet.org/content/hexagonal-geometry An Introduction to Hexagonal Geometry] on [https://web.archive.org/web/19980204100717/http://www.hexnet.org/ Hexnet] a website devoted to hexagon mathematics.
* [https://www.drking.org.uk/hexagons/index.html Hall of Hexagons]
* Math is Fun: [http://www.mathsisfun.com/geometry/hexagon.html Hexagon]

{{^}}{{многокутники}}{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Многокутники]]